[論文レビュー] A supercongruence involving Delannoy numbers and Schröder numbers

Ji-Cai Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

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ひとこと要約

この論文は、2011年にZ.-W. Sunが提起した予想を確認し、$p^4$ を法とするデラノワ数とシュレーディンガー数に関する超合同式を証明する。組合せ的恒等式、$p$-進解析、およびベルヌーイ数と調和数の性質を用いて、$p > 3$ なる素数 $p$ に対して $Σ_{k=1}^{p-1} D_k S_k \equiv 2p^3 B_{p-3} - 2p H^*_{p-1} \pmod{p^4}$ が成り立つことを確立する。ここで $B_n$ はベルヌーイ数、$H^*_{p-1}$ は交互調和数である。

ABSTRACT

The Delannoy numbers and Schröder numbers are given by \begin{align*} D_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}{n+k\choose k}\quad ext{and}\quad S_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}{n+k\choose k}\frac{1}{k+1}, \end{align*} respectively. Let $p>3$ be a prime. We mainly prove that \begin{align*} \sum_{k=1}^{p-1}D_k S_k\equiv 2p^3B_{p-3}-2pH^{*}_{p-1} \pmod{p^4}, \end{align*} where $B_n$ is the $n$-th Bernoulli number and those $H^{*}_n$ are the alternating harmonic numbers given by $H^{*}_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}$. This supercongruence was originally conjectured by Z.-W. Sun in 2011.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p > 3$ に対して、デラノワ数とシュレーディンガー数の $p^4$ を法とする超合同式を証明すること。
• Z.-W. Sun（2011年）の予想、すなわち $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k$ がベルヌーイ数と交互調和数に関係することを確認すること。
• $p$ から $p^4$ にまでモジュラスを精緻化することで、組合せ的数の既知の合同式を発展させること。

提案手法

• 二項係数と $D_k(x)$、$S_k(x)$ の母関数を含む組合せ的恒等式を用いて、$\sum_{k=0}^{p-1} D_k(x) S_k(x)$ の三重和表現を導出する。
• シュヴァリエ＝ヴァンデルモンドの恒等式と $\sum_{k=s}^{n-1} \binom{k}{s} \binom{k+s}{s}$ の和公式を適用し、$p$-進解析に適した形に和を変形する。
• 恒等式 $\sum_{s=0}^{m} \binom{2s}{s} \binom{s}{m-s} \frac{(-1)^s}{s+1} = (-1)^m$ を用いて、$p$ を法とする和を簡略化し、定数項の合同式を確立する。
• $\frac{1}{k+p}$ と $\frac{1}{(k+p)^2}$ の $p$-進展開を適用し、高次和を調和数 $H^{(2)}_s$ とベルヌーイ数を含む式に還元する。
• レーマーの既知の合同式、たとえば $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2p}{3} B_{p-3} \pmod{p^2}$ を活用し、和をベルヌーイ数に関連付ける。
• 調和数の対称性 $H^{(2)}_s + H^{(2)}_{p-1-s} \equiv 0 \pmod{p}$ と二項係数の $p$-進整域性を用いて、項を削除し、主要な合同式を隔離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $p > 3$ に対して、和 $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k$ は $p^4$ を法として超合同式を満たすか？
• RQ2 2011年のZ.-W. Sunの予想、すなわちこの和が $2p^3 B_{p-3} - 2p H^*_{p-1}$ に等しいことは、$p$-進手法を用いて厳密に証明可能か？
• RQ3 交互調和数 $H^*_{p-1}$ とベルヌーイ数 $B_{p-3}$ は、デラノワ数とシュレーディンガー数を含む和の $p$-進展開においてどのように現れるか？

主な発見

• この論文は、すべての素数 $p > 3$ に対して $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k \equiv 2p^3 B_{p-3} - 2p H^*_{p-1} \pmod{p^4}$ が成り立つことを確認し、Sunの2011年の予想を解決した。
• 任意の $p$ で割り切れない整数 $x$ に対して $\sum_{k=0}^{p-1} D_k(x) S_k(x) \equiv 0 \pmod{p}$ が成り立つ。これは基礎的な合同式を確立する。
• 恒等式 $\sum_{s=0}^{m} \binom{2s}{s} \binom{s}{m-s} \frac{(-1)^s}{s+1} = (-1)^m$ を用いて、$p$-進和を簡略化し、主要項を隔離した。
• 合同式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2p}{3} B_{p-3} \pmod{p^2}$ を適用し、調和和をベルヌーイ数に関連づけた。
• $\sum_{s=0}^{p-1} H^{(2)}_s \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \frac{p-k}{k^2} \pmod{p^4}$ を用いて、$H^{(2)}_s$ を含む $p^3$ 項を評価し、最終結果に至った。
• 証明は、和を $m < p$ と $m \geq p$ の範囲に分割し、$p$-進展開を用いてベルヌーイ数と調和数の寄与を隔離することで成り立っている。