[論文レビュー] A Superconvergent Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Dirichlet Boundary Control of Elliptic PDEs

Weiwei Hu, Jiguang Shen+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円型偏微分方程式に従うディリクレ境界制御問題を解くためのハイブリッド可能不連続ガラーキン（HDG）法を提案する。2次元の凸多角形領域において、適切な正則性仮定の下で、最適制御の収束速度が $ O(h^{3/2- u}) $ の超線形収束率を達成することを確立し、2次元および3次元の数値実験により検証されている。

ABSTRACT

We begin an investigation of hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) methods for approximating the solution of Dirichlet boundary control problems governed by elliptic PDEs. These problems can involve atypical variational formulations, and often have solutions with low regularity on polyhedral domains. These issues can provide challenges for numerical methods and the associated numerical analysis. We propose an HDG method for a Dirichlet boundary control problem for the Poisson equation, and obtain optimal a priori error estimates for the control. Specifically, under certain assumptions, for a 2D convex polygonal domain we show the control converges at a superlinear rate. We present 2D and 3D numerical experiments to demonstrate our theoretical results.

研究の動機と目的

• 多面体領域における低正則性解を伴うディリクレ境界制御問題の数値的挑戦に取り組む。
• 状態方程式における非標準的境界条件に起因する変分形式の困難さを克服する。
• 自由度を削減しつつも精度を維持する高次元で効率的な離散化手法を開発する。
• 現実的な正則性仮定の下で、特に制御変数に対して最適な事前誤差推定を確立する。
• 2次元および3次元の数値実験を通じて、手法の頑健性と収束特性を示す。

提案手法

• 状態、随伴状態、フラックス変数を含む混合系として、弱形式を用いてディリクレ境界制御問題を定式化する。
• 状態方程式および随伴方程式の離散化にハイブリッド可能不連続ガラーキン（HDG）法を適用し、要素ベースの自由度を局所的に削除可能にする。
• フラックスにはラヴィアルト＝トーマス型の有限要素空間を、状態および随伴状態変数には不連続多項式を用いる。
• ブロック行列の分解を用いて局所ソルバーを構築し、静的縮約を介してグローバル系の効率的解法を可能にする。
• 得られる線形系が対称的かつ正定値であることを保証し、効率的な反復解法の適用を可能にする。
• HDG構造を活用して、数値フラックスの構造と後処理を用いて、制御変数におけるスーパー収束を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低正則性解を伴うディリクレ境界制御問題において、HDG法が最適制御に対して最適収束率を達成できるか。
• RQ2 非標準的変分形式を伴う楕円型PDEにHDG法を適用した場合、高い精度と効率性を維持できるか。
• RQ3 標準的な正則性仮定の下で、2次元の凸多角形領域における制御変数の収束速度はいかほどか。
• RQ4 自由度と収束特性の観点から、HDG法は標準的な混合有限要素法と比べてどのように差がつくか。
• RQ5 HDGフレームワークは、対流優勢な流れや不連続性を含むより複雑な問題へ拡張可能か。

主な発見

• 2次元の凸多角形領域において $ y_d otin H^1(\bar{\nabla}) $ である場合、適切な正則性仮定の下で、最適制御は任意の $ \nu > 0 $ に対して $ O(h^{3/2-\nu}) $ の超線形収束率を示す。
• 状態および随伴状態は $ O(h^{3/2-\nu}) $ で収束し、それらのフラックスは $ O(h^{1-\nu}) $ で収束する。これは混合変数に関して最適収束であることを示している。
• 3次元においても、数値実験により理論的推定と整合する収束率が確認された：状態および随伴状態は $ O(h^{3/2-\nu}) $、フラックスは $ O(h^{1-\nu}) $ である。
• 制御誤差は2次元で約 $ O(h^{1.5}) $、3次元で約 $ O(h^{1.3}) $ で収束し、理論的超線形収束率に近づいている。
• 静的縮約のおかげで、標準的な混合法と比較してグローバルに結合された自由度の数を顕著に削減している。
• 局所ソルバーはブロック対角構造に起因し、小さなブロックの並列化可能な逆行列計算が可能であるため、計算的に効率的であり、スケーラブルな実装が可能である。