[論文レビュー] A surrogate model for computational homogenization of elastostatics at finite strain using the HDMR-based neural network approximator

Vien Minh Nguyen‐Thanh, Lu Trong Khiem Nguyen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Composite Material Mechanics参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、高次元モデル表現（HDMR）にインspiredされたニューラルネットワークを用いて、有限変形非線形弾性静力学の二尺度コンピュータ的均質化のためのサーロゲートモデルを提案する。この手法は、FFTベースの微視的解法から得たデータを用いてネットワークを学習させることで、高精度かつ効率的なオンラインマクロスケールFEM解析を可能にする。ケイブリッジビームベンチマークにおいて、均質化解とフルフィールド解の間で優れた一致が確認された。

ABSTRACT

We propose a surrogate model for two-scale computational homogenization of elastostatics at finite strains. The macroscopic constitutive law is made numerically available via an explicit formulation of the associated macro-energy density. This energy density is constructed by using a neural network architecture that mimics a high-dimensional model representation. The database for training this network is assembled through solving a set of microscopic boundary values problems with the prescribed macroscopic deformation gradients (input data) and subsequently retrieving the corresponding averaged energies (output data). Therefore, the two-scale computational procedure for the nonlinear elasticity can be broken down into two solvers for microscopic and macroscopic equilibrium equations that work separately in two stages, called the offline and online stages. A standard finite element method is employed to solve the equilibrium equation at the macroscale. As for mircoscopic problems, an FFT-based collocation method is applied in tandem with the Newton-Raphson iteration and the conjugate-gradient method. Particularly, we solve the microscopic equilibrium equation in the Lippmann-Schwinger form without resorting to the reference medium and thus avoid the fixed-point iteration that might require quite strict numerical stability condition in the nonlinear regime.

研究の動機と目的

• 有限変形における非線形弾性静力学のための、高速かつ高精度なサーロゲートモデルの開発。
• 従来のFE²手法の高い計算コストを克服するため、微視的およびマクロ的ソルバーをオフラインおよびオンライン段階に分離する。
• FFTで解いた微視的問題の学習データに基づいて、微分可能で明示的なマクロスケールエネルギー密度の近似をニューラルネットワークを用いて構築する。
• 微視的応力フラクチュエーションをフィルタリングしつつ、マクロスケール応答を正確に捉えるためのロバスト性を確保する。
• 円形インクルージョンを有する複雑なマイクロ構造に対して、フルフィールド有限要素シミュレーションと比較してフレームワークを検証する。

提案手法

• マクロスケールエネルギー密度は、高次元関数近似に効率的なHigh-Dimensional Model Representation (HDMR) にインspiredされたニューラルネットワークアーキテクチャを用いて近似される。
• トレーニングデータベースは、FFTベースのコロケーション法を用いて、所定のマクロスケールひずみ勾配を指定した多数の微視的境界値問題（BVP）を解くことで生成される。
• 参照媒体を必要とせず、リップマン＝シュヴァルツ形式で微視的平衡を解くことで、固定点反復を回避し、非線形領域における安定性を向上させる。
• ニュートン・ラプソン法および共役勾配法を用いて、FFTフレームワーク内での非線形微視的平衡方程式を解く。
• オフライン段階では、ひずみ勾配の範囲におけるエネルギー応答を事前に計算・保存する。オンライン段階では、トレーニング済みのニューラルネットワークを用いてマクロスケールエネルギーおよびその勾配を迅速に評価する。
• マクロスケール問題は標準的なFEMで解き、サーロゲートモデルが繰り返し微視的解法を実行することなく、有効な構成応答を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FFTで解いた微視的問題の学習データに基づくニューラルネットワークサーロゲートモデルは、有限変形弾性静力学におけるマクロスケールエネルギー密度を高精度に近似できるか？
• RQ2 複雑なマイクロ構造に対して、HDMRにインスパイアされたニューラルネットワークアーキテクチャは、標準的手法と比較して、精度および計算効率の面で優れているか？
• RQ3 均質化解は、解像されたマイクロ不均一性を有するフルフィールド解と比較して、全体の変形および応力のトレンドをどの程度正確に捉えているか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、オンラインマクロスケール解析中に繰り返し微視的解法を実行する必要を排除しつつ、精度を維持できるか？
• RQ5 高い相対比および複雑なインクルージョンパターンを有するマイクロ構造に適用した場合、サーロゲートモデルのロバスト性はどの程度保たれるか？

主な発見

• 2次元ケイブリッジビーム（$40 \times 10$ 個の円形インクルージョンを有する）において、均質化解とフルフィールド有限要素解との間で、垂直変位分布において優れた一致が達成された。
• 均質化応力場は局所的なフラクチュエーションを平滑化するが、特に高応力および低応力集中領域で、フルフィールド応力分布の全体的トレンドを捉えている。
• サーロゲートモデルから得た法線方向の第二ピョーリー・スモルチック応力 $\overline{S}_{11}$ は、領域全体にわたり滑らかな遷移を示すが、相対比に起因するオシレートする挙動を示すフルフィールド解とは対照的である。
• フルフィールド解では、より剛性の高いインクルージョン内に応力集中が明確に可視化されるが、均質化解ではこれら効果が平均化されており、期待通りの挙動である。
• インクルージョン数が増加しても、フレームワークは高い精度を維持しており、複雑なマイクロ構造を有する代表体積要素（RVE）において信頼性が確認された。
• 提案手法により、二尺度問題が効率的なオフラインおよびオンライン段階に分離され、標準的なFE²手法と比較して計算コストが顕著に削減された。