[論文レビュー] A survey of Galois theory of curves in characteristic p

Rachel Pries, Katherine Stevenson|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本調査は特徴標数 p における曲線のガロア理論を検討し、複素代数幾何学に存在しない独自の現象、たとえば野生的分岐や非巡回分解群を強調する。本調査では2つの新しい結果を提示する：無限遠点でのみ分岐する射影直線への G-ガロア被覆の genus 公式、およびジャコビアンの p- torsion 群スキームの正確な分解で、ニュートン多角形の傾きが 0、1/2、1 であることを示す。

ABSTRACT

This survey is about Galois theory of curves in characteristic p, a topic which has inspired major research in algebraic geometry and number theory and which contains many open questions. We illustrate important phenomena which occur for covers of curves in characteristic p. We explain key results on the structure of fundamental groups. We end by describing areas of active research and giving two new results about the genus and p-rank of certain covers of the affine line.

研究の動機と目的

• 正標数 p の体上の曲線におけるガロア理論の基礎的および応用的トピックを調査し、複素代数幾何学との相違点に焦点を当てる。
• 特に野生的被覆の文脈において、基本群および分岐の構造を明確化する。
• ガロア被覆のジャコビアンに関する算術的不変量（p-ランク、ニュートン多角形、p- torsion 群スキームなど）を調査する。
• 埋め込み問題および所望の不変量を持つ被覆の存在に関する未解決問題に取り組む。
• アフィン直線へのガロア被覆の genus および p-ランクに関する2つの新しい結果を提示し、ジャコビアンの p- torsion の明示的分解を示す。

提案手法

• Kummer 型および Artin-Schreier 型被覆を、特徴標数 p における挙動を説明する主要な例として用いる。
• リーマン・フルイツの公式を用いて、ガロア被覆の genus および p-ランクを計算する。
• L をランク a = ord_p(ℓ) の ℓ-群とする半直積 G = L ⋊ Z/p を用いたガロア被覆の構成。
• グロタンディーク、ハーバター、レーヌ・ドーが正標数において得た基本群および埋め込み問題に関する結果を活用する。
• 同一型理論および通常的・超特異成分の挙動を用いて、群スキーム J_W[p] の p- torsion を分析する。
• 所望の p-ランクおよびニュートン多角形構造を持つ被覆を構成するために、超特異曲線の分岐しない ℓ-ガロア被覆を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴標数 0 におけるガロア被覆と特徴標数 p におけるガロア被覆との間の構造的差異は何か？
• RQ2 特徴標数 p において、無限遠点でのみ分岐する射影直線への被覆のガロア群として現れる有限群はどれか？
• RQ3 特徴標数 p における G-ガロア被覆のジャコビアンの p-ランクおよびニュートン多角形の可能な値は何か？
• RQ4 所望の p- torsion 群スキーム分解を持つ G-ガロア被覆を構成できるか？
• RQ5 分岐および群構造は、このような被覆の genus および p-ランクにどのような制約を課えるか？

主な発見

• G = L ⋊ Z/p かつ L ≅ (Z/ℓ)^a である G-ガロア被覆 φ: W → P¹_k に対して、最小 genus は g_W = 1 + |L|(p-3)/2 である。
• L ≅ (Z/ℓ)^a のとき、曲線 W はそのジャコビアンの p-ランク s_W = (ℓ^a - 1)(p - 3)/2 となるように構成可能である。
• p- torsion 群スキーム J_W[p] は s_W 個の Z/p ⊕ μ_p と (p-1)/2 個の E_ss[p]（超特異楕円曲線の p- torsion）に分解される。
• J_W のニュートン多角形は、0、1/2、1 のみの傾きをもち、これは稀で顕著な構成である。
• この構成は、y^p - y = x^2 である超特異曲線 Y の分岐しない ℓ-ガロア被覆に依存しており、そのジャコビアンはすべての傾きが 1/2 の超特異的である。
• このような被覆のガロア閉包は、指定された genus および p-ランクを持つ G-ガロア被覆をもたらし、p- torsion 構造は同一型および群作用の下で保存される。