[論文レビュー] A survey of (\infty, 1)-categories

Julia E. Bergner|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、(∞,1)-圏の4つの同等のモデル—単体的圏、セガール圏、完全セガール空間、および準カテゴリー—を調査し、随伴関手を通じてそれらのクィレン同値性を示している。主な貢献は、4つのフレームワークを結ぶ包括的なクィレン同値の網を確立し、それらが逆写像を持つ高次モルフィズムを有するホモトピー理論の代替モデルとして相互に置き換え可能であることを確認したことである。

ABSTRACT

In this paper we give a summary of the comparisons between different definitions of so-called (\infty,1)-categories, which are considered to be models for \infty-categories whose n-morphisms are all invertible for n>1. They are also, from the viewpoint of homotopy theory, models for the homotopy theory of homotopy theories. The four different structures, all of which are equivalent, are simplicial categories, Segal categories, complete Segal spaces, and quasi-categories.

研究の動機と目的

• 単体的圏、セガール圏、完全セガール空間、および準カテゴリーの4つの異なる(∞,1)-圏のモデルについて包括的な概説を提供すること。
• それらのモデルのそれぞれのモデル圏間におけるクィレン同値性を通じて、それらの同等性を確立すること。
• (∞,1)-圏がホモトピー理論のホモトピー理論のモデルとして果たす役割を明確にすること。
• 代数的幾何学、K理論、安定ホモトピー論において、これらのモデルが古典的導来圏よりも優位性を示す応用分野を強調すること。
• 高次圏論の文脈において、整合的ナース関手、剛性化、および全単体的集合関手といった基礎的道具を提示すること。

提案手法

• 4つの(∞,1)-圏のモデルにおける弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションを形式化するためにモデル圏論を用いる。
• 整合的ナース、剛性化、全単体的集合関手といった随伴関手を用いて、それらのモデル圏間のクィレン同値性を構成する。
• 単体的圏からセガール圏へのナース関手Nとその左随伴Fを用い、単体的圏とセガール前圏の間のクィレン同値性を確立する。
• 完全セガール空間から単体的集合への関手i*₁（W*₀を介して定義）を用い、完全セガール空間と準カテゴリーの間のクィレン同値性を定義する。
• 全単体的集合関手t!とその右随伴t!を用い、完全セガール空間と準カテゴリーの間の第二のクィレン同値性を構築する。
• 対角関手d*とその右随伴d*を用い、セガール圏と準カテゴリーの関係を記述し、それらの間の第二のクィレン同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的圏、セガール圏、完全セガール空間、および準カテゴリーの4つの(∞,1)-圏のモデルは、ホモトピー的同等性の観点からどのように関係しているか？
• RQ2 これらの4つの構造のモデル圏の間でクィレン同値性を確立する関手は何か？
• RQ3 なぜこれらのモデルは同等と見なされるのか？そしてこれはホモトピー理論のホモトピー理論にどのような意味を持つのか？
• RQ4 代数的幾何学やK理論において、これらのモデルは古典的導来圏に比べてどのような点で優れているのか？
• RQ5 整合的ナース関手と剛性化関手は、単体的圏と準カテゴリーの間でどのように媒介するのか？

主な発見

• 整合的ナース関手N: SC → QCatとその左随伴Jは、単体的圏と準カテゴリーの間のクィレン同値性を形成する。
• ナース関手N: SeCat_f → SeCat_cとその左随伴Fは、セガール前圏とセガール圏の間のクィレン同値性を形成する。
• 完全セガール空間と準カテゴリーの間には2つの異なるクィレン同値性が存在する：1つはi*₁関手とその左随伴p*₁を介して、もう1つは全単体的集合関手t!とその右随伴t!を介して。
• セガール圏と準カテゴリーの間にも2つのクィレン同値性が存在する：1つはj*とq*を介し、もう1つはd*とd*を介する。
• 4つのモデルはすべてクィレン同値であり、それらが(∞,1)-圏のモデルとして構造的に同等であることを裏付ける同値性の網を形成する。
• 同値性により、1つのモデルに符号化された任意のホモトピー的情報が他のすべてのモデルに移転可能であることが示され、高次圏論におけるそれらのフレームワークの相互交換可能性を支持する。