[論文レビュー] A Survey of M -Functionals of Multivariate Location and Scatter

Markus Pauly, Thomas Schweizer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 19被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、多次元位置およびスケールのM推定について包括的なサーベイを提示し、多次元スチューデントt分布における最尤推定に焦点を当てる。M関数-functionalの存在、弱連続性、微分可能性についての新しい証明を提供し、行列値確率変数の一般枠組みを導入し、タイラーのM関数-functionalと比例共分散行列推定との間の関係を明らかにすることで、高次対称化スケール推定量の新しいクラスを可能にする。

ABSTRACT

This survey provides a self-contained account of M -estimation of multivariate location and scatter, with special emphasis on maximum likelihood estimation for multivariate t-distributions. In particular, we present new proofs for ex istence of the underlying M -functionals, and discuss their weak continuity and differ entiability. Moreover, we present M -estimation of scatter in a rather general framework with matrix-valued random variables. By doing so we reveal a connection between Tyler’s (1987) M -functional of scatter and the estimation of proportional c ovariance matrices. Moreover, this general framework allows us to treat a new class of scatter estimators, based on symmetrizations of arbitrary order.

研究の動機と目的

• 多次元位置およびスケールにおけるM推定について、自己完結的かつ厳密な記述を提供すること。特に多次元t分布に対して。
• 新しい証明を用いて、M関数-functionalの存在、弱連続性、微分可能性を確立すること。
• 行列値確率変数を用いたスケール推定のための一般枠組みを構築すること。
• タイラーのM関数-functionalと比例共分散行列推定との関係を明らかにすること。
• 任意の順序の対称化に基づく新しいスケール推定量のクラスを導入し、その分析を行うこと。

提案手法

• 多次元t分布の設定下で、固定点の議論と連続性の性質を用いて、M関数-functionalの存在を導出する。
• 関数解析的手法と正則性条件を用いて、M関数-functionalの弱連続性および微分可能性を確立する。
• スケールのM推定を一般の行列変数フレームワークで定式化し、スケールを行列値確率変数上の汎関数として扱う。
• タイラーのM関数-functionalが、提案された一般枠組み内での特別なケースとして自然に現れることを明らかにする。
• データ行列に対して任意の順序の対称化操作を適用することで、新しいスケール推定量を構築する。
• 一般枠組み内での新しい推定量の構造的および漸近的性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元位置およびスケールのM関数-functionalは、どのような条件下で存在し、その存在はどのように厳密に証明できるか？
• RQ2 正則性条件の下で、M関数-functionalは弱連続性および微分可能性に関してどのように振る舞うか？
• RQ3 タイラーのM関数-functionalと比例共分散行列推定との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 既存および新規の推定量を統一的に扱える、行列値M推定のための一般枠組みを構築できるか？
• RQ5 高次対称化に基づくスケール推定量の性質と、その潜在的な利点は何か？

主な発見

• やや弱い正則性条件の下で、多次元位置およびスケールのM関数-functionalの新しい存在証明が確立された。
• M関数-functionalが弱連続的かつ微分可能であることが示され、推定における安定性および漸近正規性が保証された。
• スケールのM推定のための一般枠組みが構築され、スケールを行列値確率変数上の汎関数として扱った。
• タイラーのM関数-functionalが、この一般枠組み内での特別なケースとして特定され、比例共分散行列推定と結びつけられた。
• 任意の順序の対称化に基づく新しいスケール推定量のクラスが導入され、一般枠組みに形式的に埋め込まれた。
• この枠組みにより、古典的および新規のスケール推定量が統一的に取り扱えるようになり、より優れたロバスト性および効率性の可能性が示された。