[論文レビュー] A survey of nearisometries

Jussi Väısälä|ArXiv.org|Jan 11, 2002

Functional Equations Stability Results参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、小さな加法的誤差 ε で距離を近似的に保存する近似等長写像（nearisometries）の安定性を調査し、バナッハ空間上でのような写像が真の等長写像によって一様近似可能であり、近似誤差に線形の境界が存在することを証明している。主な結果は、全射的な ε-近似等長写像が、2ε の誤差内で線形等長写像に近似可能であることを示しており、この境界が最良であることも示されている。

ABSTRACT

Let E and F be Banach spaces, let A be a subset of E, and let s \ge 0. A map f: A -> F is an s-nearisometry if |x-y|-s \le |fx-fy| \le |x-y|+s for all x,y in A. The article gives a survey on the stability problem: How well can an s-nearisometry be approximated by a true isometry? The first result on this problem was given by Hyers and Ulam in 1945 for surjective nearisometries between Hilbert spaces. The present article contains an addendum to the published paper, giving recent results on nearsurjective maps of Banach spaces.

研究の動機と目的

• バナッハ空間上での ε-近似等長写像の安定性を調査する：このような写像が真の等長写像によって一様近似可能かどうか。
• ε-近似等長写像と線形等長写像との間の距離に対する最良の一様境界を特定する。
• 特に有限次元ユークリッド空間において、等長写像近似性質（IAP）が成り立つ有界集合を特徴づける。
• 等長写像の加法的および乗法的摂動の関係を調べ、ε-近似等長写像と双リプシッチ写像の関係を比較する。
• 近似等長写像が良好な等長写像近似を許容する定量的幾何的条件を確立する。特に c-太陽系の概念を通じて。

提案手法

• A ⊂ E および F に対して、すべての x, y ∈ A に対して ||x−y| − |fx−fy|| ≤ ε を満たす写像 f: A → F を ε-近似等長写像と定義する。
• f(0)=0 のとき、Tx = lim_{t→∞} f(tx)/t を用いて線形等長写像の候補 T を定義する。
• Mazur-Ulam の定理を用いて、全射等長写像がアフィン写像であること、したがって平行移動を除いて線形であることの証明を行う。
• Jung 定数 J(E) を用いて、直径 ≤2 の集合の被覆半径を評価し、近似誤差の精密化に寄与する。
• c-太陽系（有界集合で、中心点とその周りの「惑星」が幾何的不等式を満たすもの）の概念を導入し、c-IAP を満たす集合を特徴づける。
• ユークリッド空間において、c-IAP と c′-太陽系が同値であることを、幾何的および距離論的議論を用いて定理により証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のバナッハ空間 E における ε-近似等長写像 f: E → F は、ある絶対定数 c に対して d(T,f) ≤ cε を満たす線形等長写像 T によって一様近似可能か？
• RQ2 バナッハ空間上での ε-近似等長写像に対して、d(T,f) ≤ cε の境界における c の最良の値は何か？この境界は鋭いか？
• RQ3 どの有界部分集合 A ⊂ ℝⁿ に対して、任意の ε-近似等長写像 f: A → F が一様等長写像近似をもつのか？また、どのような幾何的条件がこれを保証するか？
• RQ4 ε-近似等長写像は双リプシッチ写像とどのように関係するか？また、ℝⁿ 上で歪度が制御された双リプシッチ写像に ε-近似等長写像を拡張できるか？
• RQ5 任意のバナッハ空間 E に対して、d(S,f) ≤ J(E)ε + t という境界は鋭いか？また、t を 0 にとれる条件は何か？

主な発見

• f(0)=0 を満たす任意の全射 ε-近似等長写像 f: E → F に対して、全射線形等長写像 T: E → F が存在し、d(T,f) ≤ 2ε を満たす。この境界は鋭い。
• 境界 d(T,f) ≤ 2ε が最良であることは、ℝ 上で f(x) = x−ε（x≠0,ε のとき）かつ f(0)=f(ε)=−ε と定義した反例によって示されている。このとき、T の符号のどちらを選んでも d(T,f)=2ε となる。
• 任意の ε-近似等長写像 f: E → F に対して、任意の t>0 に対して d(S,f) ≤ J(E)ε + t を満たすアフィン等長写像 S: E → F が存在する。E が、直径 ≤2 の任意の有界集合が半径 J(E) の球で被覆可能であるならば、t→0 の極限で等号が成り立つ。
• ヒルバート空間では、d(S,f) ≤ 2ε が鋭く、c-空間に対しても同様である。c₀ については、2ε の鋭さを示すより単純な証明が存在する。
• ℝⁿ 内の有界集合 A が c-IAP を満たすための必要十分条件は、A が c′-太陽系であることである。c′-太陽系とは、中心、惑星、および特定の幾何的不等式を満たす太陽を備えた集合である。
• 双リプシッチ拡張定理が成り立つ：A がパラメータ c を用いた「厚み」条件を満たすならば、任意の (1+ε)-双リプシッチ写像 f: A → ℝⁿ（ε ≤ ε₀）は、(1+c′ε)-双リプシッチ写像 g: ℝⁿ → ℝⁿ に拡張可能である。