[論文レビュー] A survey of non-uniqueness results for the anisotropic Calder{\'o}n problem with disjoint data

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 3$ のリーマン多様体上での、境界の不連続部分集合に測定されたディリクレ境界条件とノイマン境界条件をもつ異方的ケーラーモン問題に対して、新たな非一意性結果を確立する。境界の不連続部分集合に測定されたデータに対するディリクレ・トゥ・ノイマン写像の新しいゲージ不変性を導入し、円柱的多様体上のワーペッド積度構造を用いて明示的な反例を構成する。これにより、固定周波数における同一の部分DN写像をもたらす無限個の異なる共形計量が存在することが示され、この新しいゲージ対称性の下でしか成立しない非一意性の根本的限界が明らかになる。

ABSTRACT

After giving a general introduction to the main known results on the anisotropic Calder{\'o}n problem on n-dimensional compact Riemannian manifolds with boundary, we give a motivated review of some recent non-uniqueness results obtained in [5, 6] for the anisotropic Calder{\'o}n problem at fixed frequency, in dimension n $\ge$ 3, when the Dirichlet and Neumann data are measured on disjoint subsets of the boundary. These non-uniqueness results are of the following nature: given a smooth compact connected Riemannian manifold with boundary (M, g) of dimension n $\ge$ 3, we first show that there exist in the conformal class of g an infinite number of Riemannian metrics gmetrics metrics g such that their corresponding Dirichlet-to-Neumann maps at a fixed frequency coincide when the Dirichlet data $\Gamma$D and Neumann data $\Gamma$N are measured on disjoint sets and satisfy $\Gamma$D $\cup$ $\Gamma$N = $\partial$M. The corresponding conformal factors satisfy a nonlinear elliptic PDE of Yamabe type on (M, g) and arise from a natural but subtle gauge invariance of the Calder{\'o}n when the data are given on disjoint sets. We then present counterexamples to uniqueness in dimension n $\ge$ 3 to the anisotropic Calder{\'o}n problem at fixed frequency with data on disjoint sets, which do not arise from this gauge invariance. They are given by cylindrical Riemannian manifolds with boundary having two ends, equipped with a suitably chosen warped product metric. This survey concludes with some remarks on the case of manifolds with corners.

研究の動機と目的

• 境界の不連続部分集合にディリクレ条件とノイマン条件が測定される異方的ケーラーモン問題における非一意性の根本的課題に取り組む。
• 非線形楕円型方程式（ヤマベ型）に由来する、不連続データ条件下でのディリクレ・トゥ・ノイマン写像に対する新しいゲージ不変性を特定・形式化する。
• 固定周波数における異方的ケーラーモン問題の非一意性に対する明示的反例を、新たに特定したゲージ不変性とは独立に構成する。
• 境界の滑らかさの仮定を緩和することで、角を持つ多様体に対しても非一意性結果を拡張し、連結境界であっても反例が成立することを示す。
• リーマン多様体上での逆問題の文脈において、最近の非一意性結果とその幾何的背景を包括的に調査する。

提案手法

• 境界の不連続な開集合 $\Gamma_D$ と $\Gamma_N$ をもつコンパクトなリーマン多様体上でのラプラシアン・ベルトラミー作用素に対する部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン（DN）写像 $\Lambda_{g,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda)$ を導入する。
• 境界の不連続部分集合 $\Gamma_D \cup \Gamma_N$ を固定する微分同相写像による引き戻しの下で、部分DN写像に新たなゲージ不変性を確立し、$n \geq 3$ の場合に共形因子に関する非線形ヤマベ型方程式に由来する共形ゲージ不変性を特定する。
• 円柱的多様体 $M = [0,1] \times K$ にワーペッド積度構造 $g = dt^2 + a(t)^2 g_K$ を導入し、反例を構成する。ここで $a(t)$ は滑らかで正の関数である。
• 多様体 $K$ 上のラプラシアンのスペクトル分解における変数分離を用い、$-\Delta_K$ のディリクレ固有値をパrameterとする一様次元の境界値問題の族に問題を還元する。
• 下界・上界解の方法を用いて、非線形ディリクレ問題 $\Delta_g w + (\lambda - V)w - \lambda w^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ が $M$ 上に滑らかで正の解をもつことを証明する。境界上では $w = \eta$ であり、$\eta = 1$ が $\Gamma_D \cup \Gamma_N$ 上で成り立つ。
• 異なるポテンシャル $V$ と $\tilde{V}$ をもつ異なる共形因子 $c$ と $\tilde{c}$ が、部分DN写像 $\Lambda_{c^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda) = \Lambda_{\tilde{c}^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$ をもたらすことを示し、新しいゲージ不変性の下での非一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体 $M$ 上で $\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset$ であるとき、部分ディリクレ・トゥ・ノイマン写像 $\Lambda_{g,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda)$ は固定周波数 $\lambda$ において計量 $g$ を一意に特定するか？
• RQ2 境界の不連続部分集合に測定されたデータを持つ異方的ケーラーモン問題における非一意性の背後にある幾何的・解析的構造は何か？
• RQ3 不連続データの下で、標準的な微分同相写像および共形ゲージ不変性とは独立して非一意性が生じ得るか？
• RQ4 境界が連結であるが多様体が滑らかでない角を持つ多様体の場合、非一意性の結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 円柱的多様体上のワーペッド積度構造を用いて、異なる共形因子に対して同一の部分DN写像をもたらす明示的反例を構成できるか？

主な発見

• 次元 $n \geq 3$ の円柱的多様体 $M = [0,1] \times K$ 上に、無限個の共形計量 $\tilde{g} = c^4 g$ が存在し、$\Gamma_D, \Gamma_N \subset \partial M$ が不連続であるとき、$\tilde{g} \neq g$ であっても $\Lambda_{\tilde{g}, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda) = \Lambda_{g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$ が成り立つ。
• 非一意性は、共形因子に関する非線形ヤマベ型方程式に由来する新しいゲージ不変性に起因する。これは、標準的な微分同相写像不変性や共形不変性では捉えきれない。
• 新たに特定したゲージ不変性とは関係のない非一意性の反例が存在する：異なる共形因子 $c$ と $\tilde{c}$ が、同じ部分DN写像 $\Lambda_{c^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$ をもたらすが、それぞれ異なるポテンシャル $V = V_{g,c,\lambda}$ と $\tilde{V} = V_{g,\tilde{c},\lambda}$ をもつ。
• 角を持つ多様体に対しても非一意性は成立する：境界 $\partial M$ が連結（例えば $M = [0,1] \times K$ で $K$ が境界をもつ）であっても、不連続データをもつ部分DN写像に対して、非一意性の反例は依然として存在する。
• 適切な $V$ と境界データ $\eta$ の条件下で、$\lambda = 0$, $\lambda > 0$, $\lambda < 0$ のすべてのケースにおいて、非線形ディリクレ問題 $\Delta_g w + (\lambda - V)w - \lambda w^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ が滑らかで正の解をもつことを、下界・上界解の方法により証明した。