[論文レビュー] A survey of the Schr\\"odinger problem and some of its connections with optimal transport

C. Léonard|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 49被引用数 348

ひとこと要約

本稿は、周辺制約のもとで相対エントロピーを最小化する確率的最適輸送問題であるシュレーディンガー問題について包括的なサーベイを提供する。動的シュレーディンガー問題が、ブラウン運動ブリッジを含む静的問題に等価であり、その解が最小作用の原理を通じて2次モンジュ＝カンタロヴィチ輸送問題と結びつくことにより、シュレーディンガー問題と最適輸送の深い関係を確立する。

ABSTRACT

This article is aimed at presenting the Schr\\"odinger problem and some of its connections with optimal transport. We hope that it can be used as a basic user's guide to Schr\\"odinger problem. We also give a survey of the related literature. In addition, some new results are proved.

研究の動機と目的

• 周辺制約のもとで相対エントロピーを最小化する確率的最適輸送問題としてシュレーディンガー問題を提示すること。
• 測度の分解を用いて、動的シュレーディンガー問題と静的シュレーディンガー問題の関係を明確にすること。
• 2次コストを伴う古典的モンジュ＝カンタロヴィチ最適輸送問題とシュレーディンガー問題との関連を確立すること。
• 経路空間上でのシュレーディンガー問題の定義に不可欠な、有界でない測度に関する相対エントロピーの厳密な取り扱いを提供すること。
• 確率的最適輸送および大偏差理論の分野に新たに進出する研究者を対象としたユーザーガイドおよび文献サーベイとしての役割を果たすこと。

提案手法

• 経路空間 $ \Omega $ 上の確率測度 $ P $ に対して相対エントロピー $ H(P|R) $ を最小化する動的シュレーディンガー問題を定式化し、初期および最終周辺測度 $ \mu_0, \mu_1 $ を固定する制約を課す。
• 測度の分解公式 $ \widehat{P} = \int R^{xy} \widehat{\pi}(dxdy) $ を用い、ここで $ R^{xy} $ はブラウン運動ブリッジ測度であり、$ \widehat{\pi} $ は $ \mathcal{X} \times \mathcal{X} $ 上で定義された静的シュレーディンガー問題の解である。
• 周辺測度 $ \pi_0 = \mu_0, \pi_1 = \mu_1 $ を満たす静的シュレーディンガー問題 $ H(\pi|R_{01}) \to \min $ が、動的問題と等価であることを示し、$ R_{01}(dxdy) \propto \exp(-d(x,y)^2/2) \, \textrm{vol}(dx)\textrm{vol}(dy) $ が成り立つ。
• 動的コスト $ C(\omega) = \int_0^1 |\dot{\omega}_t|^2/2 \, dt $ を用いて、シュレーディンガー問題と2次モンジュ＝カンタロヴィチ最適輸送問題との等価性を確立する。
• 重み関数 $ W $ を用いて、有界でない参照測度（非コンパクト多様体上のブラウン運動の分布など）に関する相対エントロピーの厳密な定義を導入し、$ \int W \, dp < \infty $ のとき $ H(p|r) $ が適切に定義されることを保証する。
• 変分恒等式 $ H(p|r) = \sup \left\{ \int u \, dp - \log \int e^u \, dr \right\} $ を用いて、積率母関数の観点から相対エントロピーを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー問題と最適輸送の関係は何か？ 両者の間の明確な数学的関係は何か？
• RQ2 解の測度の分解において、ブラウン運動ブリッジが果たす役割は何か？
• RQ3 非コンパクト多様体上でのブラウン運動の分布のような有界でない参照測度に関して、相対エントロピーをどのように厳密に定義できるか？
• RQ4 シュレーディンガー問題はモンジュ＝カンタロヴィチ問題のどの意味で確率的正則化であると見なせるか？
• RQ5 動的シュレーディンガー問題と静的問題との等価性が、大偏差理論および統計物理学に与える影響は何か？

主な発見

• 動的シュレーディンガー問題の解 $ \widehat{P} $ は、ブラウン運動ブリッジ $ R^{xy} $ の混合として分解され、混合測度 $ \widehat{\pi} $ は $ \mathcal{X} \times \mathcal{X} $ 上の静的シュレーディンガー問題を解く。
• 動的および静的シュレーディンガー問題の値は等しい：$ \inf \eqref{sdyn} = \inf \eqref{s} $ であり、これにより両者の等価性が確立される。
• 静的シュレーディンガー問題は、コスト関数 $ c(x,y) = d(x,y)^2/2 $ を伴う2次モンジュ＝カンタロヴィチ最適輸送問題と等価であり、古典的最適輸送と結びつく。
• 動的コスト $ C(\omega) = \int_0^1 |\dot{\omega}_t|^2/2 \, dt $ は、点 $ x $ から点 $ y $ への定速測地線に沿って最小化され、(MK dyn) の解は決定的経路 $ \gamma^{xy} $ に対応する。
• 重み関数 $ W $ が $ \int e^{-W} \, dr < \infty $ を満たすとき、$ \int W \, dp < \infty $ を満たす $ p \in \mathrm{P}(Y) $ に対して相対エントロピー $ H(p|r) $ は適切に定義され、異なる $ W $ の選択に対しても一貫性が保たれる。
• 可測関数 $ u $ が $ \sup |u|/W < \infty $ を満たすとき、変分公式 $ H(p|r) = \sup \left\{ \int u \, dp - \log \int e^u \, dr \right\} $ が成り立ち、$ H(\cdot|r) $ が凸かつ下方連続関数として特徴付けられる。