[論文レビュー] A Survey of Weighted Approximation for Exponential Weights

D. S. Lubinsky|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Mathematical functions and polynomials参考文献 110被引用数 5

ひとこと要約

本調査は、実数直線上の指数的重み付き多項式近似について包括的な概説を提供し、ベルンシュタインの近似問題、ジャクソンおよびベルンシュタインの定理、マークフ・ベルンシュタインおよびニコルスキーの不等式、直交級数展開、およびラグランジュ補間を扱う。重み付き $ L_∞ $ ノルムにおける多項式の稠密性の条件を確立し、無限遠で減少する偶関数で連続な重みについて、主要な技術と結果を統一する。

ABSTRACT

Let W: R to (0,1] be continuous. Bernstein's approximation problem, posed in 1924, deals with approximation by polynomials in the weighted uniform norm ||fW|| Linfinity(R) . The qualitative form of this problem was solved by Achieser, Mergelyan, and Pollard, in the 1950's. Quantitative forms of the problem were actively investigated starting from the 1960's. We survey old and recent aspects of this topic, including the Bernstein problem, weighted Jackson and Bernstein Theorems, Markov-Bernstein and Nikolskii inequalities, orthogonal expansions and Lagrange interpolation. We present the main ideas used in many of the proofs, and different techniques of proof, though not the full proofs. The class of weights we consider is typically even, and supported on the whole real line, so we exclude Laguerre type weights on [0,infinity). Nor do we discuss Saff's weighted approximation problem, nor the asymptotics of orthogonal polynomials.

研究の動機と目的

• 全実数直線上の指数的重み付き多項式近似理論を体系的に調査すること。
• ベルンシュタインの近似問題に答えること：関数 $ f $ が無限遠で $ fW \to 0 $ を満たす場合、多項式は重み付き $ L_∞ $ ノルムで稠密か？
• ジャクソン・ベルンシュタインの定理、マークフ・ベルンシュタインの不等式、直交級数展開の収束といった主要な技術と結果を統一し提示すること。
• 偶関数で連続な重み $ W $ に焦点を当て、$ \lim_{|x|\to\infty} x^n W(x) = 0 $ を満たすものに限定し、ラゲール型重みや直交多項式の漸近挙動を除く。
• 特に $ \mathcal{E} $ および $ \mathcal{F}_{\text{even}}(C^2) $ の重み類について、指数的重みに関する数十年にわたる研究を整理・要約し、近似理論の研究者向けの参考文献を提供すること。

提案手法

• ベルンシュタイン問題の可解性を特徴付けるために、正則化 $ \Omega(z) = \sup\{ |P(z)| : \sup_t |P(t)W(t)| / \sqrt{1+t^2} \leq 1 \} $ を用いる。
• メルゲリヤンの基準を適用：ベルンシュタイン問題が正の解をもつのは、$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\log \Omega(t)}{1+t^2} dt = \infty $ であるか、同値に $ \Omega(z) = \infty $ となる非実数 $ z $ が存在するときである。
• 重み付き $ L_p $ ノルムと重みに適合したモジュラスの連続性を用い、$ \sigma(t) = \inf\{ a_n : a_n/n \leq t \} $ と定義する。ここで $ a_n $ は Mhaskar–Rakhmanov–Saff 数である。
• 対称差分 $ \Delta_h^r f $ と区間 $ [-\sigma(2t), \sigma(2t)] $ 上の重み付き $ L_p $ ノルムを含む $ r $ 階のモジュラスの連続性 $ \omega_{r,p}(f,W,t) $ を定義する。
• 近似誤差と滑らかさの関係を表すために、$ K $-関数 $ K_{r,p}(f,W,t^r) = \inf_g \left\{ \| (f-g)W \|_{L_p} + t^r \| g^{(r)} W \|_{L_p} \right\} $ を定義する。
• デュアルティー、デ・ラ・バリ・プワンの平均、区分的多項式近似などの手法を用いて、重み付き不等式および収束結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶関数で連続な重み $ W $ に対して、多項式の集合が重み付き $ L_\infty(\mathbb{R}) $ ノルムで稠密であるための条件は何か？
• RQ2 指数的重みについて、重み付きジャクソンおよびベルンシュタインの定理が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ3 クラス $ \mathcal{E} $ および $ \mathcal{F}_{\text{even}}(C^2) $ に属する重みについて、マークフ・ベルンシュタインおよびニコルスキーの不等式はどのように振る舞うか？
• RQ4 重み付き $ L_p $ 空間の関数について、直交級数展開およびラグランジュ補間の収束性の性質は何か？
• RQ5 フライド、ネバイ、クロウ・ツァバドスらの技術が、重み付き近似不等式の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• ベルンシュタインの近似問題は、$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\log \Omega(t)}{1+t^2} dt = \infty $ であるときに限り正の解をもつ。ここで $ \Omega $ は重みの正則化である。
• クラス $ \mathcal{E} $ の重みについて、モジュラスの連続性は $ \Phi_t(x) = \sqrt{1 - |x|/\sigma(t)} + T(\sigma(t))^{-1/2} $ を含み、$ T(x) = xQ'(x)/Q(x) $ である。$ r $ 階のモジュラスは、$ \Delta_h^r f $ の重み付き $ L_p $ ノルムを用いて定義される。
• 重み付き $ L_p $ 近似における次数 $ \leq n $ の多項式による誤差 $ E_n[f;W]_p $ は、適切な条件下で $ K $-関数と同値である。
• $ W \in \mathcal{F}_{\text{even}}(C^2) $ の場合、関数 $ T(t) = tQ'(t)/Q(t) $ は準増加的であり、$ T(t) \geq \Lambda > 1 $ を満たす。これにより近似理論に必要な減衰が保証される。
• マルチンキエヴィッチ・ジーグムンドの不等式は、大スクリーブおよび双対性の手法により確立され、数値積分の和およびリーマン関数への応用を含む。
• レヴィン・ルビンスタインの手法およびスィーブド・マークフ・ベルンシュタイン不等式により、指数的重み下での多項式の導関数に対する鋭い推定が得られる。