[論文レビュー] A survey on Geometry of Slant Submanifolds

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

このサーベイは、ほぼヘルミートおよびケーラー多様体におけるスラント部分多様体の幾何学を体系的に展開し、複素部分多様体と完全実部分多様体の自然な一般化としてそれらを導入する。基礎理論を確立し、曲率と位相的性質に基づいてスラント表面を分類し、安定性およびコホモロジーに関する主要な結果を証明する。特に、複素グラスマン多様体における最小で完全実かつ完全測地的である部分多様体が不安定であることが示されている。

ABSTRACT

The present volume is the written version of the series of lectures the author delivered at the Catholic University of Leuven, Belgium during the period of June-July, 1990. The main purpose of these talks is to present some of author's work and also his joint works with Professor T. Nagano and Professor Y. Tazawa of Japan, Professor P. F. Leung of Singapore and Professor J. M. Morvan of France on geometry of slant submanifolds and its related subjects in a systematical way.

研究の動機と目的

• ほぼヘルミートおよびケーラー多様体における複素部分多様体と完全実部分多様体の一般化として、スラント部分多様体の体系的理論を提示すること。
• 平行な平均曲率ベクトル、球面性、余次元といった幾何的性質に基づいてスラント表面を分類すること。
• 特に最小および完全測地的ケースに注目し、スラント部分多様体の位相的性質と安定性を調査すること。
• スラント部分多様体のコホモロジカル不変量を確立し、それらを幾何的安定性と関連付けること。
• 長谷川、永野、田沢、ルイン、モルバンとの共同研究に基づき、スラント部分多様体の幾何学における最近の結果と未解決問題を包括的に概説すること。

提案手法

• ほぼ複素構造 J と接空間の間の角度を用いてスラント部分多様体を定義し、複素部分多様体（角度 0）および完全実部分多様体（角度 π/2）を一般化する。
• C² およびほぼヘルミート多様体におけるスラント表面の分析に、ガウス写像およびグリーンマン多様体 G(2,4) の幾何学を用いる。
• 対称空間における完全測地的部分多様体の指数、退化度、キリング退化度を計算するために、表現論およびカシミール作用素を応用する。
• シュールの補題およびリー代数の直交分解を用いて、正規バンドルの既約成分を分析する。
• [CM3] および [CLN] からのコホモロジカル手法を用いて、α斜交部分多様体のコホモロジーを研究する。
• オニタの公式を用いて、対称空間におけるコンパクトな完全測地的部分多様体の指数、退化度、キリング退化度を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スラント部分多様体は、J と接空間の間の角度を用いて、幾何学的にどのように特徴付けられるか？
• RQ2 曲率、余次元、平均曲率を用いたスラント表面の分類基準は何か？
• RQ3 スラント部分多様体が体積汎関数の臨界点として安定または不安定である条件は何か？
• RQ4 H^1 および H^2 などのコホモロジカル不変量は、スラント部分多様体の位相的性質と幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ5 正規バンドルのカシミール固有値と完全測地的部分多様体の安定性との正確な関係は何か？

主な発見

• G^C(p,q) 内の最小で完全実かつ完全測地的である部分多様体 G^R(p,q) は、c(2ω̃₁) > c(ω̃₂) を比較することで不安定であることが示された。
• 対称空間におけるコンパクトな完全測地的部分多様体の指数、退化度、キリング退化度は、表現論を用いたオニタの公式により計算された。
• rk(ν) < 2 または余次元が 1 のスラント表面は、特定の分類結果が得られ、位相的制約と曲率条件が含まれる。
• 球面的スラント表面は最小であり、制限された位相的性質を持つことが示され、すべての M₊ がゼロホモロジークラスに属することが分かった。
• α斜交形式の複体を用いてスラント部分多様体のコホモロジーが研究され、H^1 および H^2 が位相的不変量を提供することが分かった。
• C² 内のスラント表面のガウス写像が調和的であることは、その表面が最小かつスラントであるときにかつそのときに限り成り立つことが示され、幾何学と解析の間にリンクが確立された。