[論文レビュー] A survey on hyperbolicity of projective hypersurfaces

Simone Diverio, Erwan Rousseau|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

このサーベイは、複素射影超曲面における双曲性について包括的な概説を提供し、全曲線の代数的退化性を確立するためにジェット微分形式と正曲率の利用に焦点を当てる。交差理論とポール次数制御付きベクトル場を用いたジェット bundle 上の交差理論により導かれる、一般の超曲面の次数 $d$ に対して有効な次数上限（$2^{n^5}$ 未満）が提示されている。

ABSTRACT

These are lecture notes of a course held at IMPA, Rio de Janiero, in september 2010: the purpose was to present recent results on Kobayashi hyperbolicity in complex geometry. Our ultimate goal is to describe the results obtained on questions related to the geometry of entire curves traced in generic complex projective hypersurfaces of high degree. For the convenience of the reader, this survey tries to be as self contained as possible.

研究の動機と目的

• 複素幾何におけるKobayashi双曲性に関する最近の進展、特に射影超曲面についての自己完結的サーベイを提供すること。
• ジェット微分形式を介して、解析的双曲性（非定値全曲線の不在）と代数的双曲性（曲線の genus の一様な下界）を結びつけること。
• $\mathbb{P}^{n+1}$ 内の一般超曲面が双曲的であるための有効な次数上限 $d < 2^{n^5}$ を、グローバルジェット微分形式の消滅条件に基づき確立すること。
• 不変ジェット微分形式と制御されたベクトル場を用いた戦略を形式化し、全曲線の代数的退化性を強制すること。
• Voisin らの代数的アプローチを、ジェットタワーにおける交差理論を用いた定量的・有効な枠組みへと拡張すること。

提案手法

• ホロモルフィックディスクの鎖を用いてKobayashi擬距離を構成し、Brodyの基準を適用して非定値全曲線の不在によって双曲性を特徴づける。
• 代数的双曲性を、次数に関する曲線の genus の一様な下界として定義し、Lang–Vojta予想と関連付ける。
• 射影化されたジェットバンドルとタウトロジカルラインバンドルを用いて、指向多様体上のジェットバンドルとジェット微分形式を不変量として開発する。
• Ahlfors–Schwarzの補題を適用し、負曲率と双曲性の関係を、アーマー除法上でのグローバルジェット微分形式の消滅条件を用いて関係づける。
• 普遍的超曲面族上でのポール次数が制御されたベクトル場を用いて新しいジェット微分形式を生成し、消滅条件を保つ。
• ジェットタワーにおける交差理論を用いて、制御された消滅次数を持つグローバルジェット微分形式の存在を示す多項式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^{n+1}$ 内の一般射影超曲面がKobayashi双曲的であるための有効な次数上限 $d$ は何か？
• RQ2 ジェット微分形式と正曲率を用いて、コンパクト複素多様体内の全曲線の代数的退化性をどのように強制できるか？
• RQ3 アーマー除法上でグローバルジェット微分形式が消えることから、双曲的超曲面の次数に対する有効な境界を導けるか？
• RQ4 ジェット微分形式を微分する際、消滅条件を保つためにベクトル場の極の次数にどのような制御が必要か？
• RQ5 ジェットタワーにおける交差理論を用いて、得られる多項式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$ の主係数と根の挙動をどのように推定できるか？

主な発見

• $\mathbb{P}^{n+1}$ 内の一般射影超曲面が双曲的であるための有効な次数上限 $d < 2^{n^5}$ が、ジェットタワー上の交差積の正性に基づき確立された。
• 多項式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$ の主係数は、$\delta = \frac{1}{2} \frac{{\sf G}_{n+1}}{{\sf E}_{n+1}^\prime}$ のとき $1/2$ 以上に下から抑えられ、$d$ が十分に大きい場合の正性を保証する。
• 重みベクトル $\mathbf{a}$ の最大重み $a_1$ は $\frac{3^n}{2}n^2$ で明示的に上界が与えられ、(6.1) で定義される錐内に収まることが保証される。
• 重みベクトル $\mathbf{a}$ が $\mathbb{R}^n$ 内の指定された立方体に属するある整数 $\mathbf{a}$ に対して、$p_{n+1,\mathbf{a}}$ が非ゼロであることが保証され、多項式が非自明であることが保証される。
• ジェット微分形式の消滅次数条件を満たすための次数上限 $d_1 = n+2 + 2\frac{{\sf E}_{n+1}^\prime}{{\sf G}_{n+1}}(n^2 + 2n)$ が保証される。
• 多項式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$ の最大整数根が有限になるように保証するための上限 $d_2 = 2\max_{j} \left(2{\sf E}_j + \frac{{\sf G}_{n+1}}{{\sf E}_{n+1}^\prime} {\sf E}_j^\prime \right)^{1/(n+1-j)}$ が得られ、有効な退化性が可能になる。