[論文レビュー] A survey on non-autonomous basins in several complex variables

Alberto Abbondandolo, Leandro Arosio+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本調査は、複素変数の非自己同型力学系において、安定多様体が常に複素ユークリッド空間にbiholomorphicであるという予想を検討する。滑らかな自己同型の列に一様な収縮境界が与えられた場合、著者らは新たな結果を提示し、十分な接触次数および一様な収縮率の境界がある条件下で、関連する吸引域が C^m にbiholomorphicであることを示している。これは、より広範な予想を支持するものである。

ABSTRACT

Consider a holomorphic automorphism which acts hyperbolically on some invariant compact set. Then for every point in the compact set there exists a stable manifold, which is a complex manifold diffeomorphic to real Euclidean space. If the point is fixed, then the stable manifold is even biholomorphic to complex Euclidean space. In fact, it is known that the stable manifold of a generic point is biholomorphic to Euclidean space, and it has been conjectured that this holds for every point. In this article we survey the history of this problem, addressing both known results and the techniques used to obtain those results. Moreover, we present a list of seemingly simpler open problems and prove several new results, all pointing towards a positive answer to the conjecture discussed above.

研究の動機と目的

• 非自己同型正則力学における安定多様体が複素ユークリッド空間にbiholomorphicであるという予想の歴史と現在の状態を調査すること。
• 一様収縮条件の下で、自己同型の列に対する吸引域の同値性を分析すること。
• 接触次数や収縮率の制約といった特定の条件下で、C^m へのbiholomorphismを示す新しい結果を提示し、予想を支持すること。
• 主な予想の解決に繋がる可能性のある、より弱い未解決問題を特定し、それらを検討すること。

提案手法

• 単位球内で一様収縮境界 C‖z‖ ≤ ‖fₙ(z)‖ ≤ D‖z‖ を満たす正則自己同型の列によって定義される非自己同型力学系の使用：C‖z‖ ≤ ‖fₙ(z)‖ ≤ D‖z‖（z は単位球内）。
• 列 (hₙ) および (gₙ) による座標変換を用いて、線形または下三角／上三角構造を持つモデル系に系を共役化すること。
• 高次項の成長を制御するためのアフィン再帰関係の採用により、共役写像の一様有界性を保証すること。
• 写像 fₙ の接触次数 k の分析（fₙ(z) = l(z) + O(‖z‖^k) として定義）により、力学系における非線形項を制御すること。
• 異なる座標系（下三角対象 vs. 上三角対象）が使用される区間間で、共役写像の一貫性を保証する可換図式の使用。
• 一様有界係数を持つアフィン再帰関係を用いた反復的後退的構成により、一様有界な列 (hₙ) および (gₙ) の存在を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己同型正則自己同型の列の吸引域が C^m にbiholomorphicであるための条件は何か？
• RQ2 ハイパーボリック系におけるすべての安定多様体が C^m にbiholomorphicであるという予想は、非自己同型吸引域の手法によって解決可能か？
• RQ3 写像 fₙ の接触次数 k は、C^m へのbiholomorphismを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 一様収縮境界（C および D）は、有界な擬上恒等関数の存在にどのように影響を与え、結果として吸引域の構造に寄与するか？
• RQ5 異なる優勢方向を持つ区間において、非自己同型系とモデル系との間の共役写像を一様に構成することは可能か？

主な発見

• 一様収縮境界 C‖z‖ ≤ ‖fₙ(z)‖ ≤ D‖z‖ を満たす列 (fₙ) の吸引域 Ωₙ は、接触次数 k が存在する条件下で、D^k < C ならば C^m にbiholomorphicである。
• 接触次数 k および D^{k+ε} < C（ε > 0）を満たす列に対して、吸引域は C^m にbiholomorphicであり、これにより従来の結果が拡張された。
• 線形部が (aₙz, bₙw) で、接触次数 k を持つ有界な自己同型の列は、一様有界な写像 (hₙ) および (gₙ) を用いてモデル系に共役可能であり、これにより吸引域は C^2 にbiholomorphicである。
• アフィン再帰関係 αₙ₊₁ = (aₙ / bₙ^k)αₙ + cₙ / bₙ^k に一意な有界軌道が存在することは、共役写像 hₙ の一様有界性を保証する。
• |aₙ| ≥ |bₙ| または |aₙ| ≤ |bₙ| に応じて優勢方向が交互に切り替わる区間において、下三角形と上三角形の形を切り替えることで、共役写像の構成を拡張でき、一様有界性が保たれる。
• 吸引域内に非定数の有界擬上恒等関数が存在すると、C^m へのbiholomorphismが矛盾するが、一様収縮の下ではこのような関数は存在しえず、予想を支持する。