[論文レビュー] A Survey on Operational State Complexity

Yuan Gao, Nelma Moreira+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Machine Learning and Algorithms参考文献 97被引用数 23

ひとこと要約

本調査では、正規言語の操作における状態複雑性の包括的な概要を提供しており、和集合、積集合、連結、スターバージョン、反転、およびそれらの組み合わせの最悪ケースにおける状態複雑性に焦点を当てている。本調査は、部分正則言語クラスにわたる結果を統合し、普遍的ワーキング（universa1 witnesses）や平均ケース複雑性およびアルファベットサイズ依存性に関する未解決問題を強調している。

ABSTRACT

Descriptional complexity is the study of the conciseness of the various models representing formal languages. The state complexity of a regular language is the size, measured by the number of states of the smallest, either deterministic or nondeterministic, finite automaton that recognises it. Operational state complexity is the study of the state complexity of operations over languages. In this survey, we review the state complexities of individual regularity preserving language operations on regular and some subregular languages. Then we revisit the state complexities of the combination of individual operations. We also review methods of estimation and approximation of state complexity of more complex combined operations.

研究の動機と目的

• 個々の操作および組み合わせ操作における正規言語操作の最悪ケース状態複雑性結果を体系的にレビューすること。
• さまざまな部分正則言語クラスにわたる決定的と非決定的状態複雑性のギャップを分析すること。
• 平均ケース複雑性、マジックナンバー、およびアルファベットサイズ依存性に関する未解決問題を特定・議論すること。
• 普遍的ワーキングとDesCoのような構造的ツールが、複雑性結果の整理と検証に果たす役割を調査すること。
• 非決定的状態複雑性と遷移複雑性における今後の研究の方向性を特定することで、今後の研究を導くこと。

提案手法

• 有限、ユニナリ、スターフリーなど、正規および部分正則言語の操作における状態複雑性結果を調査・分類すること。
• 組み合わせ的構成とワーキング言語族を用いて、操作の上界と下界を分析すること。
• 記号的記号操作ソフトウェアと高性能コンピューティングを活用して、複雑な上限を検証し、タイトなワーキングを構築すること。
• 複数の複雑性測定基準（状態複雑性、句構文的複雑性、アトム数など）にわたるタイトな上限を達成する普遍的ワーキングの概念を導入・分析すること。
• DesCoウェブベースシステムを活用して、言語クラスと操作にわたる複雑性データを整理・照会すること。
• 達成可能な複雑性値の分布と、状態複雑性において「マジックナンバー」として存在する値の有無を調査すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規言語における基本的演算（和集合、積集合、連結）のタイトな最悪ケース状態複雑性上限は何か？
• RQ2 スターバージョンの和集合やスターバージョンの積集合のような結合操作では、状態複雑性上限はどのように変化するか？
• RQ3 どの条件下で言語族が複数の複雑性上限に対して普遍的ワーキングとして機能できるか？
• RQ4 特定の操作とアルファベットサイズに対して、状態複雑性として達成できない値（マジックナンバー）は存在するか？
• RQ5 アルファベットサイズは、タイトな上限の存在や普遍的ワーキングの構築可能性にどのように影響するか？

主な発見

• m状態およびn状態のDFAにおける積集合の状態複雑性は正確にmnであり、この上限は一部の言語ペアに対してタイトである。
• 和集合のスターバージョンや類似の結合操作では、個々の複雑性の単純な合成よりも状態複雑性が著しく低くなる。
• 多くの操作に対して普遍的ワーキングが存在し、構文的複雑性やアトム数を含む複数の複雑性測定基準にわたるタイトな上限の構築を可能にしている。
• マジックナンバー（状態複雑性として達成できない値）は、固定されたアルファベットサイズに対してのみ存在し、それらですらまれにしか現れない。
• 平均ケース状態複雑性はほとんど未調査の分野であるが、最近の解析的組合せ論の研究により、正規表現からNFAサイズの分布をモデル化する試みが始まっている。
• Brzozowski最小化アルゴリズムの平均ケース挙動が分析され、反転複雑性に関する洞察が得られ、操作的状態複雑性への応用可能性が示唆されている。