[論文レビュー] A Survey on Small-Area Planar Graph Drawing

Giuseppe Di Battista, Fabrizio Frati|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 106被引用数 12

ひとこと要約

本調査は、平面的グラフの小領域図形への描画に関するアルゴリズムおよび理論的境界の包括的概要を提供する。主に直線、直交、上向き、凸、近接性、クラスタード図形といったさまざまな図形表記法を対象とし、領域を最小限に抑えるための主要な技術を特定するとともに、特定のクラスタードグラフ図形における指数的領域下界や、クラスタード木の順序を保つ凸図形に関する未解決の問題を強調している。

ABSTRACT

We survey algorithms and bounds for constructing planar drawings of graphs in small area.

研究の動機と目的

• 平面的グラフを最小領域で描画するための最新のアルゴリズムおよび幾何的領域境界を調査すること。
• 直線、直交、上向き、凸、クラスタード図形といった異なる図形表記法が領域要件に与える影響を分析すること。
• 特にクラスタードおよび階層的グラフに関連する、小領域平面的グラフ図形における根本的な未解決問題を特定・強調すること。
• グラフ構造（例：木、外平面的、系列並列）と平面的図形における領域効率との相互作用を検討すること。
• クラスタード図形図形における順序を保つ図形および凸領域表現の領域要件に関する未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• 本稿は、最小領域で平面的グラフ図形を構築する既存のアルゴリズム的技法を調査し、帰納的構成および幾何変換に重点を置いている。
• 直線エッジ、多角形線、上向き方向性、凸面制約といった図形表記法の影響が領域複雑性に与える影響を分析している。
• エッジの縮約、クラスタの削除、分離3サイクルによる分解といった帰納的手法を用いて、複雑なグラフを単純な部分問題に還元している。
• クラスタードグラフの場合、図形を階層的または外クラスタード形式に変換することで、再帰的描画と再構成を可能としている。
• Fáryの定理および可視性表現からの技法を応用し、小領域での直交および長方形図形の構築を行っている。
• 非c連結なクラスタード木に対して、既知の上向きおよび直線図形における指数的領域構成への還元を用いて下界を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる埋め込み制約のもとで、n頂点の平面的グラフを直線エッジで描画するのに必要な最小領域は何か？
• RQ2 すべてのクラスタードグラフが多項式領域内で凸クラスタ領域で描画可能か、それとも本質的指数的領域下界が存在するか？
• RQ3 クラスタが凸領域で表現される条件下で、順序を保つ直線c-平面的図形としてのクラスタード木の領域要件は何か？
• RQ4 分離サイクルおよび2連結成分は、クラスタードグラフ図形の領域複雑性にどのように影響するか？
• RQ5 複数のグラフ族および図形表記法にわたる小領域図形を達成する一般化されたアルゴリズムフレームワークは存在するか？

主な発見

• すべてのクラスタが凸領域で表現される直線c-平面的図形において、指数的領域を要するクラスタードグラフが存在し、これは根本的な下界を確立している。
• c連結なクラスタード木に対しては、帰納的アルゴリズムによりO(n²)領域の直線長方形図形が構築可能であり、多項式領域の実現可能性を示している。
• 非c連結なクラスタード木は、凸領域の直線図形において指数的領域を要する可能性があり、上向き図形における既知の下界を拡張している。
• Angeliniらのアルゴリズムは、外クラスタードおよび線形順序付き部分グラフに再帰的分解することで、クラスタードグラフの直線長方形図形を構築する。
• EadesらおよびFengらは、一般のc-平面的図形でクラスタが凸である場合、度数4制約のもとでも指数的領域を要することが示している。
• 順序を保つ直線c-平面的図形としてのクラスタード木の図形において、クラスタが凸領域で表現される場合の領域複雑性に関する未解決の問題が残っている。