[論文レビュー] A Survey on the Complemented Subspace Problem

Mohammad Sal Moslehian|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2005

Advanced Banach Space Theory参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

このサーベイはバナッハ空間論における補完部分空間問題について包括的な概説を提供し、その歴史的発展、主要な結果、未解決問題をたどる。閉部分空間が有界射影によって補完される条件を検討し、$ olimits\ell_p$, $c_0$, $ olimits\ell^ olimits\infty$, $L_p$ などの古典的空間における補完部分空間に関する主要な定理を強調するとともに、収縮的補完、素空間、$L_1$-双対空間といった関連概念を議論する。

ABSTRACT

The complemented subspace problem asks, in general, which closed subspaces $M$ of a Banach space $X$ are complemented; i.e. there exists a closed subspace $N$ of $X$ such that $X=M\oplus N$? This problem is in the heart of the theory of Banach spaces and plays a key role in the development of the Banach space theory. Our aim is to investigate some results on complemented subspaces, to give a history of the subject, and to present some open problems.

研究の動機と目的

• バナッハ空間論における補完部分空間問題の歴史的発展と現在の状態をサーベイすること。
• $\nolimits\ell_p$, $c_0$, $\nolimits\ell^\nolimits\infty$, $L_p$ などの古典的列空間および関数空間における補完部分空間の基礎的結果を提示すること。
• 射影、シュャウダー基底、双対性が補完性を決定する役割を分析すること。
• $C(S)$, $L_1$-双対空間、無条件基底を備えた空間における補完部分空間に関する未解決問題を特定し、議論すること。
• 補完性、インジェクティビティ、およびフォン・ノイマン代数および$L_1$-空間における構造との関係を探索すること。

提案手法

• 有界射影や商写像を用いた関数解析的道具を用いた、補完部分空間に関する古典的および現代的結果の体系的レビュー。
• 閉グラフ定理の応用により、閉部分空間における代数的補完と位相的補完の同値性を確立すること。
• 双対性と随伴作用素を用いて、弱く補完可能かつ収縮的に補完可能な部分空間を分析すること。
• メタフーネ、モスカチェリ、オストラスキ、チゴギジドゼの結果を用いて、バナッハ空間の直積および直和における補完部分空間を分析すること。
• 補完性の観点から素バナッハ空間を検討する：空間が素であるとは、任意の無限次元補完部分空間が自分自身に同相型であるときを指す。
• 等長および同相型埋め込みを用いて、$L_1$-双対空間および$C(S)$空間における補完性を研究する。これにはジッピンとリンデンシュトラウスの定理を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間のどの閉部分空間が補完可能であるか、すなわち有界射影の像であるか？
• RQ2 $\ell_p$ ($1 \leq p < \infty$) のすべての無限次元補完部分空間は $\ell_p$ に同相型であるか？
• RQ3 $L_p$ ($1 < p < \infty$, $p \neq 2$) のすべての補完部分空間は、$\ell_p$, $\ell_2$, $\ell_p \oplus \ell_2$, または $L_p$ に同相型であるか？
• RQ4 無条件基底を備えた空間の補完部分空間は、常に無条件基底を誘導するか？
• RQ5 任意の包含空間において補完可能であるようなバナッハ空間は、すべてあるストーン空間$S$に対して$C(S)$に同相型であるか？

主な発見

• $\ell_1$ のすべての無限次元補完部分空間は $\ell_1$ に同相型である。ペルツィンスキーによる1960年の結果。
• $\nolimits\ell^\nolimits\infty$ のすべての無限次元補完部分空間は $\nolimits\ell^\nolimits\infty$ に同相型である。リンデンシュトラウスによる1967年の結果。
• $1 < p < \infty$, $p \neq 2$ に対して、$L_p$ には非同相型の非可算個の補完部分空間が存在する。ボルガイン、ローゼンタール、シェクティマンによる1981年の証明。
• すべての分離可能な無限次元$L_1$-双対空間は、$c_0$ に等長同型な収縮的補完部分空間を含む。ジッピンによる1969年の結果。
• 空間$X$の閉部分空間$M$が弱く補完可能であるとは、$M^\circ$ が$X^*$ 上の有界射影の像であるときを指す。すべての補完可能部分空間は弱く補完可能である。
• 空間$X$が反射的、または弱コンact集合によって生成されるならば、$X$ の任意の閉部分空間は$X$ において補完可能である。リンデンシュトラウスによる1969年の結果。