[論文レビュー] A Survey on the Computational Complexity of Colouring Graphs with Forbidden Subgraphs

Petr A. Golovach, Matthew Johnson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 75被引用数 26

ひとこと要約

本調査は、1つまたは2つの誘導部分グラフの禁止によって定義されるグラフクラスにおける、グラフ彩色問題（Colouring, k-Colouring, Precolouring Extension, List Colouring, Choosability）の計算量的複雑性を包括的に分析する。同調査では、禁止部分グラフの構造に強く依存する二分岐結果を確立し、禁止部分グラフが最大次数が有界で、かつ1個以下の次数3頂点をもつ森林である場合に多項式時間で解けることを示し、それ以外の場合はNP困難であることを示している。

ABSTRACT

For a positive integer $k$, a $k$-colouring of a graph $G=(V,E)$ is a mapping $c: V ightarrow\{1,2,...,k\}$ such that $c(u) eq c(v)$ whenever $uv\in E$. The Colouring problem is to decide, for a given $G$ and $k$, whether a $k$-colouring of $G$ exists. If $k$ is fixed (that is, it is not part of the input), we have the decision problem $k$-Colouring instead. We survey known results on the computational complexity of Colouring and $k$-Colouring for graph classes that are characterized by one or two forbidden induced subgraphs. We also consider a number of variants: for example, where the problem is to extend a partial colouring, or where lists of permissible colours are given for each vertex.

研究の動機と目的

• 1つまたは2つの誘導部分グラフを禁止するグラフに対して、グラフ彩色問題の計算量的複雑性を体系的に分類すること。
• このようなグラフクラスにおける Colouring, Precolouring Extension, List Colouring, および Choosability の複雑性に関する未解決問題を解明すること。
• 特に木幅（treewidth）、パス幅（pathwidth）、平面性（planarity）に注目して、禁止誘導部分グラフの構造的性質に基づく二分岐結果を確立すること。
• strongly H-free, H-minor-free, および H-topological-minor-free グラフにおける問題の複雑性を比較し、 tractability における違いを強調すること。

提案手法

• 著者たちは、特に禁止誘導部分グラフによる特徴付けを用いて、グラフクラスを分類するための構造的グラフ理論を用いる。
• Bienstock らや Fellows らの結果を応用し、H-free グラフの構造的パラメータ（木幅、パス幅など）を束ねる。
• Dichotomy 定理（例：定理4.1）を活用して、問題が多項式時間で解けるか、NP完全であるかを同定する。
• 還元および困難性の証明を用いて複雑性結果を導出し、特に最大次数4のグラフにおける3-ColouringのNP完全性を示す。
• Menger の定理およびトポロジカルマイナーに関する議論を用いて、構造的制約下で特定のグラフが除外されることを示す。
• パラメータ化複雑性（例：3-Choosability における Π₂^p-hardness）の結果と構造的制約を組み合わせ、Choosability の複雑性を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ H に対して、H-free グラフ上での Colouring 問題が多項式時間で解けるか？
• RQ2 1つまたは2つの誘導部分グラフを禁止するグラフ上での Precolouring Extension および List Colouring の複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 strongly H-free, H-minor-free, および H-topological-minor-free グラフにおける問題の複雑性の関係は何か？
• RQ4 H にどのような構造的条件を課すと、Choosability が H-free グラフ上で多項式時間で解けるか、または Π₂^p-hard になるか？
• RQ5 H-minor-free と H-topological-minor-free グラフ上での Colouring の複雑性が異なる H は存在するか？

主な発見

• K₁,₅-minor-free グラフ上では Colouring は多項式時間で解けるが、最大次数4のグラフではNP完全であるため、マイナー自由クラスと次数制限クラスの間で複雑性のギャップが生じている。
• H-topological-minor-free グラフ上では、H が r ≥ 3 に対するサイクル Cr である場合、長大なパスやサイクルが存在しないため、Colouring は多項式時間で解ける。
• H が最大次数が3以下で、各成分に高々1個の次数3頂点をもつ森林である場合、strongly H-free グラフ上での Choosability は線形時間で解ける。
• H が非平面的または奇サイクルを含む場合、strongly H-free グラフ上での 3-Choosability でさえ Π₂^p-hard である。
• H-minor-free グラフ上では、H が平面的であれば Choosability は線形時間で解けるが、H が非平面的であれば Π₂^p-hard であるため、完全な二分岐が確立された。
• strongly H-free と H-minor-free グラフ上での Choosability の複雑性は異なる（例：H が奇サイクルの場合）ため、マイナーと誘導部分グラフの禁止によって、複雑性の地図が異なることが示された。