[論文レビュー] A symplectic resolution for the binary tetrahedral group

Manfred Lehn, Christoph Sorger|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、2次元非可約表現の直和に作用する二面体的四面体群 $ T $ による商特異点 $ (S_1 \bigoplus S_2)/T $ に対して、明示的なシンプレクティック解消を構成する。同定のヒルベルトスキーム $ T\text{-Hilb}(S_1 \oplus S_2) $ を用いて、解消が2つの滑らかなかいわく（$ H^{\text{orb}} $、すなわち軌道成分と $ \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 $）から成り、それらがインシデント多様体に沿って横断的に交わることを示し、2つの小解消の間でムカイフロップをもたらす。

ABSTRACT

We describe an explicit symplectic resolution for the quotient singularity arising from the four-dimensional symplectic represenation of the binary tetrahedral group.

研究の動機と目的

• 二面体的四面体群の4次元シンプレクティック表現から生じる商特異点に対する明示的シンプレクティック解消を構成すること。
• 群 $ T $ がその2次元非可約表現の直和に作用する際の特異点 $ (S_1 \oplus S_2)/T $ を解消すること。
• 等長ヒルベルトスキーム $ T\text{-Hilb}(S_1 \oplus S_2) $ の構造を記述し、その成分およびそれらの交わりを特定すること。
• 解消が正則的かつシンプレクティックであり、特異点の除去部分がムカイフロップをなすことを確立すること。
• 存在定理を越えて、明示的な代数的・幾何的技法を用いて、解消の幾何的モデルを提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$ (S_1 \oplus S_2)/T $ の正則的解消の候補として、等長ヒルベルトスキーム $ T\text{-Hilb}(S_1 \oplus S_2) $ を用い、シンプレクティック商特異点のヒルベルトスキームに関する既知の結果を活用する。
• ヒルベルトスキームの構造を分析するため、$ \mathbb{C}[S_1 \oplus S_2] $ の座標環を $ T \times \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^* $-表現の非可約成分に分解する。
• $ \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^* $-作用の固定点を計算し、合計13個の固定点が得られ、それらを用いて局所幾何を研究する。
• 各固定点における接空間および障害理論を計算し、次元が4または5であることを示し、二次障害写像が2つの異なる因子に分解可能であることを示す。
• 表現の分解から、重み3における $ S_1 $ および $ S_2 $ の直線の選び方により、$ \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 $ と同型な第二の成分が存在することが導かれる。
• $ H^{\text{orb}} $、$ \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 $、および $ Z $ を含む可換図式がムカイフロップを実現すると予想され、特異点の2つの小解消を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二面体的四面体群から生じる商特異点 $ (S_1 \oplus S_2)/T $ は、明示的なシンプレクティック解消をもつのか？
• RQ2 等長ヒルベルトスキーム $ T\text{-Hilb}(S_1 \oplus S_2) $ の構造は何か？ そして、これは商の正則的解消をもたらすのか？
• RQ3 ヒルベルトスキームに複数の非可約成分が存在するのか？ それらはどのように交わるか？
• RQ4 可換図式を用いて $ H^{\text{orb}} $ と $ \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 $ を含むものにより、2つの小解消の間のフロップとして解消を記述できるか？
• RQ5 ヒルベルトスキームの固定点および接空間は、解消のグローバル幾何にどのように寄与するか？

主な発見

• 等長ヒルベルトスキーム $ T\text{-Hilb}(S_1 \oplus S_2) $ は2つの非可約成分から成る：滑らかな軌道成分 $ H^{\text{orb}} $ と、$ \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 $ に同型な第二の成分。
• 2つの成分はインシデント多様体に沿って横断的に交わる。このインシデント多様体が解消の特異点の除去部分をなす。
• $ \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^* $-作用の下で、ヒルベルトスキームには正確に13個の固定点があり、7つの点では接空間の次元が4、6つの点では次元が5である。
• 各固定点における障害写像は、2つの異なる因子に分解可能な二次形式であり、追加の成分が存在しないことを確認する。
• 解消は正則的かつシンプレクティックであり、正則部分に定義されたシンプレクティック形式が、ヒルベルトスキーム全体に一意に拡張可能である。
• 解消はムカイフロップから生じると予想され、$ H^{\text{orb}} $、$ \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 $、および商 $ Z $ を含む可換図式により、2つの小解消の間に双対性が存在する可能性が示唆される。