[論文レビュー] A symplectic slice theorem

Juan‐Pablo Ortega, Tudor S. Raţiu|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、全局的運動量写像を要件としない、正則な固有リー群作用に対するシンプレクティックスライス定理を確立する。代わりに、シンプレクティック形式から導かれる常に存在する2次コサイクルである Chu 写像を用い、軌道の周囲にチューブ型モデルを構成することで、シンプレクティック構造およびハミルトニアンベクトル場の標準形を得る。主な貢献は、局所ハミルトニアン性（チューブワイズハミルトニアン作用）を特徴づける十分条件を、Chu 写像から導かれる g*-値1次形式の完全性として特定することにある。

ABSTRACT

We provide a model for an open invariant neighborhood of any orbit in a symplectic manifold endowed with a canonical proper symmetry. Our results generalize the constructions of Marle and Guillemin and Sternberg for canonical symmetries that have an associated momentum map. In these papers the momentum map played a crucial role in the construction of the tubular model. The present work shows that in the construction of the tubular model it can be used the so called Chu map instead, which exists for any canonical action, unlike the momentum map. Hamilton's equations for any invariant Hamiltonian function take on a particularly simple form in these tubular variables. As an application we will find situations, that we will call tubewise Hamiltonian, in which the existence of a standard momentum map in invariant neighborhoods is guaranteed.

研究の動機と目的

• 正則な固有群作用に対するシンプレクティックスライス定理を、運動量写像を用いず一般化すること。
• 正則な固有群作用の軌道の近傍におけるシンプレクティック構造の標準形を提供すること。
• チューブ座標におけるハミルトニアンベクトル場の再構成方程式を導出すること。
• 正則な作用が G-不変近傍内で局所運動量写像をもつ（すなわちチューブワイズハミルトニアンである）ための十分条件を同定すること。

提案手法

• 軌道接空間の annihilator の商としてシンプレクティック正規空間 Vm を構成する。
• Chu 写像 Ψ: M → Z²(g) を Ψ(m)(ξ,η) = ω(m)(ξM(m), ηM(m)) で定義する。これは正則作用に対して常に定義可能である。
• ηM(m) ∈ (g·m)ω を満たす η ∈ g のなす部分代数 k ⊂ g を定義し、シンプレクティック構造と整合性を保つ。
• 等性群 H、シンプレクティック正規空間 Vm、および制限運動量写像を用いて局所モデル Yr = G ×H (m*r × (Vm)r) を構築する。
• G-不変ハミルトニアンベクトル場のチューブ座標における再構成方程式を導出する。
• g*-値1次形式 γ の完全性が、局所モデルにおける標準運動量写像の存在の十分条件であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な固有群作用に対して、全局的運動量写像を要件としないシンプレクティックスライス定理を構築できるか？
• RQ2 Chu 写像は、シンプレクティック群作用のチューブ型モデルを構成する際に運動量写像をどのように置き換えられるか？
• RQ3 正則作用が G-不変近傍内で局所運動量写像をもつ（すなわちチューブワイズハミルトニアンである）ための条件は何か？
• RQ4 g*-値1次形式 γ は、局所モデルにおける標準運動量写像の存在を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 シンプレクティックスライス定理で定義されるチューブ座標において、ハミルトニアンベクトル場の再構成方程式はどのように簡略化されるか？

主な発見

• Chu 写像は、正則な固有作用に対するシンプレクティックスライス定理の構成において、運動量写像の代わりに使える、常に存在する自然な2次コサイクルを提供する。
• シンプレクティック正規空間 Vm は、誘導された形式 ωVm を持つシンプレクティックベクトル空間であり、関連する運動量写像 JVm を持つ自然な H-作用を有する。
• k = {η ∈g | ηM(m) ∈(g·m)ω} で定義される部分代数 k ⊂ g は、リー括弧に関して閉じており、構造的一致性を保証する。
• チューブ座標におけるハミルトニアンベクトル場の再構成方程式は、特に簡潔な形を取り、既知のバンドル方程式を一般化する。
• G-作用が m においてチューブワイズハミルトニアンであるための必要十分条件は、⟨γ(g)·TeLg·η,ξ⟩= −ω(m)(Adg−1ξM(m), ηM(m)) で定義される g*-値1次形式 γ が完全であることである。
• H¹(G) = 0 または軌道 G·m がアイソトロープである場合には、G-作用は m においてチューブワイズハミルトニアンである。なぜなら、完全性条件が自明に満たされるからである。