[論文レビュー] A Szemeredi-type regularity lemma in abelian groups, with applications

Ben Green|ArXiv.org|Oct 30, 2003

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 111

ひとこと要約

この論文は、アーベル群におけるシュレーディ・タイプの正則性補題を確立し、古典的なグラフ正則性補題を加法的組合せ論へと拡張する。少しだけ線形方程式（例：$x+y=z$）の解をもつ集合は、構造的部品（和自由または三角形なし）と小さな誤差集合に分解可能であり、これによりほぼ和自由集合や稠密な集合内の等差数列に関する定量的構造定理が得られる。

ABSTRACT

Szemeredi's regularity lemma is an important tool in graph theory which has applications throughout combinatorics. In this paper we prove an analogue of Szemeredi's regularity lemma in the context of abelian groups and use it to derive some results in additive number theory. One is a structure theorm for sets which are almost sum-free. If A is a subset of [N] which contains just o(N^2) triples (x,y,z) such that x + y = z then A may be written as the union of B and C, where B is sum-free and |C| = o(N). Another answers a question of Bergelson, Host and Kra. If alpha, epsilon > 0, if N > N_0(alpha,epsilon) and if A is a subset of {1,...,N} of size alpha N, then there is some non-zero d such that A contains at least (alpha^3 - epsilon)N three-term arithmetic progressions with common difference d.

研究の動機と目的

• グラフからアーベル群へ、シュレーディの正則性補題を拡張し、加法的数論のための構造的道具を提供すること。
• 「ほぼ」和自由であるか、線形方程式に少ない解をもつ集合を特徴づける問題に取り組むこと。
• このような集合が、和自由または三角形なしの構造的部品と無視できる誤差集合に分解可能であることを証明すること。
• ベルゲルソン、ホスト、クライが提起した、多くの3項等差数列を含む稠密な集合における共通差の存在に関する問いに答えること。
• グラフの数え上げ補題に類似した、アーベル群における数え上げ補題を確立し、定量的応用を可能にすること。

提案手法

• 関数 $f: G \to [0,1]$ に対する $\varepsilon$-正則性を定義する、アーベル群上の正則性補題を導入すること。
• $G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ 上で、任意の $\varepsilon$-正則部分群が非常に大きな指数を持つ関数 $f$ を確率的構成により構築すること。
• 加法的設定における縮小グラフと正則性条件を定義し、グラフ理論的枠組みを一般化すること。
• 直交するベクトル $\xi_v$ を用いて、部分群の陪集合の和集合として $B_i$ を構成すること。
• $f$ の制限のフーリエ係数を制御するため、フーリエ解析的手法を適用し、部分群が小さくない限り正則性が成立しないことを保証すること。
• グラフの数え上げ補題に類似した、アーベル群における補題の類似を証明し、正則ペアが線形方程式の解の数を制御することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ正則性補題に類似した、アーベル群の文脈における正則性補題を定式化できるか？
• RQ2 方程式 $x+y=z$ に $o(N^2)$ 個の解をもつ集合はどのような構造を持ち、和自由集合と小さな誤差集合に分解可能か？
• RQ3 十分に大きな $N$ に対して、$\{1,\dots,N\}$ の任意の稠密な部分集合は、$d \neq 0$ を共通差として持つ3項等差数列を含むか？
• RQ4 アーベル群における正則性補題は、$a_1 + \cdots + a_k = 0$ のような線形方程式の解の数をどのように制御できるか？
• RQ5 関数 $f$ に対して、$G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ 上で $\varepsilon$-正則となる部分群の最小サイズは何か？また、これは関数の構造とどのように関係するか？

主な発見

• アーベル群における正則性補題が確立され、任意の関数 $f: G \to [0,1]$ は、フーリエ係数を制御できる $\varepsilon$-正則な部分群への分割を持つ。
• $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ が $\delta N^2$ 個の $x+y=z$ の解を持つとき、$A = B \cup C$ と分解可能であり、$B$ は和自由で、$|C| = \delta' N$ となる。ここで $\delta' \to 0$ は $\delta \to 0$ のときである。
• $\alpha, \epsilon > 0$ に対して、$N > N_0(\alpha, \epsilon)$ かつ $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ が $\alpha N$ 個の要素を持つならば、$d \neq 0$ が存在し、$A$ は少なくとも $(\alpha^3 - \epsilon)N$ 個の共通差 $d$ の3項等差数列を含む。
• サイズ $N$ のアーベル群 $G$ の $k$ 個の部分集合において、$a_1 + \cdots + a_k = 0$ の解の数は正則性によって制御される。解の数が $o(N^{k-1})$ ならば、各集合から $o(N)$ 個の要素を除くことですべての解が消去可能である。
• $G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ 上の関数 $f: G \to [0,1]$ が存在し、任意の $\varepsilon$-正則部分群 $H$ に対して $|G/H| \geq W(\frac{1}{2}\log_2(1/\varepsilon) - 5)$ が成り立つ。これにより、正則部分群が極めて小さい可能性があることが示される。
• 正則性補題と数え上げ補題を併用すると、アーベル群の部分集合における $o(N^2)$ 個の三角形は、$o(N)$ 個の要素を削除することですべて除去可能であり、結果として三角形なしの集合が得られる。