[論文レビュー] A T1 theorem for general Calder\'on-Zygmund operators with comparable doubling weights, and optimal cancellation conditions

Eric T. Sawyer|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

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ひとこと要約

本稿は、同型のダブリング測度を備えた重み付きL²空間間の一般化されたCalderón-Zygmund作用素について、有界性が成り立つためのT1定理を確立している。有界性が成り立つのは、双対テスト条件と強い弱有界性性質が成り立つ場合に限る。主な貢献は、分数的A∞重みと二重立方体／インジケータテストを用いた最適なキャンセレーション条件を通じて、有界性を特徴づけるものであり、古典的結果を非A²、非対称な二重重み設定および一般核に拡張している。

ABSTRACT

We begin an investigation into extending the T1 theorem of David and Journ\'e, and the corresponding cancellation conditions of Stein, to more general pairs of distinct doubling weights. For example, assuming the measures satisfy a fractional A infinity condition and are comparable in the sense of Coifman and Fefferman, we characterize the two weight norm inequality for a strongly elliptic fractional Calder\'on-Zygmund singular integral, in terms of the one-tailed fractional Muckenhoupt conditions, and the usual cube testing conditions. We then apply this result to give a version, in the setting of two comparable fractional A infinity weights, of Stein's characterization of cancellation conditions on a kernel K in order that there exists a bounded operator T that is associated with K. More generally we prove a T1 theorem involving a bilinear indicator/cube testing inequality in place of the weak boundedness property of David and Journe\'e - where we must test over all bounded functions instead of just Holder continuous functions. We use a proof strategy based on an adaptation of the `pivotal' argument of Nazarov, Treil and Volberg to the weighted Alpert wavelets of Rahm, Sawyer and Wick using a Parallel Corona decomposition of Lacey, Sawyer, Shen and Uriarte-Tuero.

研究の動機と目的

• 古典的なDavid-JournéのT1定理およびSteinの最適キャンセレーション条件を、一般の異なるダブリング重みのペアへ拡張すること。
• 非A²、非対称な重みペアにおけるCalderón-Zygmund作用素Tα: L²(σ) → L²(ω)の有界性を特徴づけること。
• そのような有界性のための最小限の必要十分条件——具体的には双対テスト条件と強い弱有界性性質——を同定すること。
• 二重立方体／インジケータテスト定数（BICT）の役割を確立し、より強い仮定の下でその削除が可能かどうかを検討すること。
• 分数的Aα∞条件の下で制限された弱型定理を証明し、完全なノルム推定への重要な一歩を提供すること。

提案手法

• 核Kαを備えたCalderón-Zygmund作用素に対して、双対テスト条件と二重立方体／インジケータテスト定数（BICT）を含む強い弱有界性性質を要件とする、新しいT1型定理を導入する。
• 核の微分における正性の欠如に起因する非正の核に対処するため、重み付きAlpertウェーブレットと射影のL∞制御を用いる。
• NTVの二重ハール分解に依存しないように、dyadic martingale差分を制御するための並列コロナ分解を適用する。
• ダブリング測度におけるκ次順序のピボット条件の必要性を確立し、それをテストおよび弱型推定を通じて作用素ノルムを制御する。
• テスト条件と弱有界性性質を関連付けるために、二重重み二重カルレソン埋め込み定理を用いる。
• [LaPeRe]および[Hyt]のgood λ不等式とピッグホリング技術を用い、Aα∞条件の下で最適な制限された弱型推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの異なるダブリング測度σとωに対して、Calderón-Zygmund作用素Tα: L²(σ) → L²(ω)が有界となる条件は何か？
• RQ2 重みがA²や対称的でない場合に、一般のCalderón-Zygmund核に対して最適なキャンセレーション条件は何か？
• RQ3 より強い仮定の下で、二重立方体／インジケータテスト条件（BICT）を削除できるか？その条件は何か？
• RQ4 一つの測度における分数的Aα∞条件が、二重重み設定におけるTαの有界性とどのように関係するか？
• RQ5 σとωの比較可能性が、一般核に対するT1定理の証明を可能にする役割を果たすのはどのような点か？

主な発見

• Calderón-Zygmund作用素Tα: L²(σ) → L²(ω)が有界であるための必要十分条件は、双対テスト条件と二重立方体／インジケータテスト定数（BICT）を含む強い弱有界性性質が成り立つことである。
• より強いインジケータ／立方体テスト条件を仮定すれば、BICT条件を削除でき、より強固な特徴づけが得られる。
• 0 < α < n である分数的核Kαに対して、有界性が成り立つのは、切り詰めた作用素のL²ノルムがシェルを含む一様推定を満たす場合に限る：∫_{‖x−x₀‖<N} |∫_{ε<‖x−y‖<N} Kα(x,y) dσ(y)|² dω(x) ≤ AKα(σ,ω) ∫_{‖x₀−y‖<N} dσ(y)。
• 分数的Aα∞条件の下で制限された弱型定理が成り立ち、ピッグホリングとコロナ構成を用いて、Aα∞特徴の最適依存性が得られる。
• ダブリング測度に対してκ次順序のピボット条件の必要性が確立され、テストおよび弱型推定を通じて作用素ノルムが制御される。
• ヒルベルト変換やリース変換とは異なり、核の微分における正性の欠如により、重み付きAlpertウェーブレットと並列コロナの使用が不可避であり、この方法はダブリングおよびAα∞関連測度に限られる。