[論文レビュー] A tangent bundle on diffeological spaces

Carlos A. Torre|ArXiv.org|Jan 11, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな多様体、微分同相群、およびそれらの共伴軌道を含む特定の微分同相空間の部分カテゴリに対して、接バンドルの構成を導入する。適切に定義された接バンドル、ベクトル場、de Rhamコホモロジーを定義することにより、著者は滑らかな多様体を超えて、より広範な微分同相空間の枠組みへと微分幾何的構造を拡張し、一般化された滑らかな空間における微積分の基盤を提供する。

ABSTRACT

We define a subcategory of the category of diffeological spaces, which contains smooth manifolds, the diffeomorphism subgroups and its coadjoint orbits. In these spaces we construct a tangent bundle, vector fields and a de Rham cohomology.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体を超えて、接バンドルやベクトル場などの微分幾何的構造を微分同相空間のカテゴリへと拡張すること。
• 接バンドル理論に必要な構成が閉じているような微分同相空間の部分カテゴリを同定すること。
• この部分カテゴリにおける接バンドル構造と整合性を持つde Rhamコホモロジー理論を定義すること。
• 微分同相群やその共伴軌道のような無限次元空間における微積分のためのフレームワークを提供すること。
• 滑らかな多様体でない滑らかな空間へと、古典的微分幾何学の道具を一般化し、重要な幾何的性質を保ちながらも、多様体構造を必要としないこと。

提案手法

• 著者は、滑らかな多様体、微分同相群、およびそれらの共伴軌道を含み、関連する構成について閉じた部分カテゴリを定義する。
• 微分同相空間の関手的構造と滑らかな曲線の空間を用いて、接バンドルを微分同相空間として構成する。
• ベクトル場は接バンドルの滑らかな切断として定義され、滑らかな多様体における概念が一般化される。
• de Rhamコホモロジーは、接バンドル上の微分形式と標準的な外微分作用素、および閉形式・完全形式の分解を用いて導入される。
• 構成は、多様体のチャートや局所座標に依存せず、内在的な微分同相構造に基づく。
• 滑らかな多様体における標準的構成と整合すること、および必要な操作についての閉じ性を示すことによって、理論の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相空間の広いクラスに対して、一貫性のある接バンドルを定義することは可能か？（無限次元群を含む）。
• RQ2 滑らかな多様体を超えて、ベクトル場やde Rhamコホモロジーをどのように微分同相空間に一般化できるか？
• RQ3 どの微分同相空間の部分カテゴリが、整合性のある接バンドルと幾何的構造を備えているか？
• RQ4 接バンドルの構成は、滑らかな多様体における標準的微分幾何学と整合性を持つか？
• RQ5 このフレームワークは、微分同相群やその共伴軌道のような重要な幾何的対象を扱えるか？

主な発見

• 滑らかな多様体、微分同相群、およびそれらの共伴軌道を含む微分同相空間の部分カテゴリに対して、整合性のある接バンドルが構成された。
• ベクトル場は接バンドルの滑らかな切断として定義され、古典的な概念が一般化された滑らかな空間へと拡張された。
• この部分カテゴリに対して、微分形式と外微分作用素を用いたde Rhamコホモロジー理論が確立された。
• 構成は滑らかな多様体上での標準的接バンドル構造を保ち、古典的微分幾何学との一貫性を確保した。
• このフレームワークは、微分幾何学やゲージ理論に現れるような無限次元微分同相空間における微積分をサポートする。
• 結果として、本研究は、多様体構造を必要としない広いクラスの滑らかな空間に対しても、微分幾何学の基本的道具を一般化できることを示した。