[論文レビュー] A Tangent Category Alternative to the Faà di Bruno Construction

Jean-Simon Pacaud Lemay|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、タンジェント圏論を用いて、複雑な Faà di Bruno 公式の代わりにより単純で関手論的な合成則を用いる、余自由なカルテジアン微分圏の新規構成を提示する。主な貢献は、D-系列を介して定義される同値な余自由カルテジアン微分圏構造であり、微分作用素と合成の操作を、タンジェント関手の性質を活用することで簡略化し、元の Faà di Bruno 構成における組合せ論的複雑性を回避する、より直感的で組合せ論的でない代替案を提供する。

ABSTRACT

The Faà di Bruno construction, introduced by Cockett and Seely, constructs a comonad $\mathsf{Fa{\grave{a}}}$ whose coalgebras are precisely Cartesian differential categories. In other words, for a Cartesian left additive category $\mathbb{X}$, $\mathsf{Fa{\grave{a}}}(\mathbb{X})$ is the cofree Cartesian differential category over $\mathbb{X}$. Composition in these cofree Cartesian differential categories is based on the Faà di Bruno formula, and corresponds to composition of differential forms. This composition, however, is somewhat complex and difficult to work with. In this paper we provide an alternative construction of cofree Cartesian differential categories inspired by tangent categories. In particular, composition defined here is based on the fact that the chain rule for Cartesian differential categories can be expressed using the tangent functor, which simplifies the formulation of the higher order chain rule.

研究の動機と目的

• 余自由カルテジアン微分圏を定義する際の Faà di Bruno 構成の複雑さと組合せ論的負担を軽減すること。
• タンジェント圏の枠組みを用いて、余自由カルテジアン微分圏の代替的でより直感的な構成を開発すること。
• 高階の合成則の定式化を、対称木や多項係数に依存するのではなく、タンジェント関手を用いて表現することで簡略化すること。
• 加法的圏にとどまらず、任意の有限積を持つ圏に対しても一般化できるように、前D-系列を導入すること。
• 新規構成と元の Faà di Bruno コモナドとの同値性を確立し、新規構造が余自由性の普遍的性質を保持することを保証すること。

提案手法

• 有限積を持つ圏における射の一般化された系列である前D-系列を導入し、新規構成の土台を築く。
• カルテジアン微分圏の微分作用素公理を満たす特別なクラスとしてD-系列を定義する。
• タンジェント関手の作用を用いてD-系列の合成を定義し、合成則が自然変換 T(fg) = T(f)T(g) として表現されることで、高階の合成が簡略化される。
• D-系列上の微分作用素 D を、fn から fn+1 へのシフト作用素として定義し、カルテジアン微分圏における標準的な微分作用素と整合する。
• タンジェント関手の自然性と積の保存性を活用して、微分作用素と合成を対称木の表記を避ける形で定義する。
• 得られたD-系列の圏がカルテジアン微分圏をなしており、コモナドの同値性により Faà di Bruno 構成と同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Faà di Bruno 公式の組合せ論的複雑性に依存せずに、余自由カルテジアン微分圏を構成することは可能か？
• RQ2 カルテジアン微分圏における高階の合成則は、対称木ではなくタンジェント関手を用いて再定式化可能か？
• RQ3 加法的構造を持たない圏に対しても、D-系列の自然な一般化は可能か？ これにより、より広範な圏的文脈での微分が可能になるか？
• RQ4 新規構成は余自由性の普遍的性質を保持するか、すなわち Faà di Bruno コモナドと同値か？
• RQ5 微分作用素と合成は、多項係数に依存するのではなく、タンジェント圏構造を用いてより直感的に定義可能か？

主な発見

• 新規構成はD-系列を用いて余自由カルテジアン微分圏を定義し、コモナド余代数の意味で Faà di Bruno 構成と同値である。
• 新規構成における合成は、タンジェント関手の関手的性質を用いて定義され、対称木や多項係数の必要がなくなる。
• 微分作用素は単純なシフト作用素として与えられ、D-系列の線形性は f• = i•·f0 で特徴づけられる。
• 前D-系列を用いることで、加法的構造を持たない圏に対しても一般化され、非加法的状況下での微分が可能になる。
• D-系列の圏はカルテジアン微分圏をなし、得られるコモナドは Faà di Bruno コモナドと同値であり、余自由性の普遍的性質を保持する。
• 本稿は、タンジェント関手が高階の合成則をより洗練された構造的定式化で提供することを示しており、組合せ論的 Faà di Bruno 公式に代わるより洗練された代替案を提供する。