[論文レビュー] A tensor product of representations of UHF algebras arising from Kronecker products

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列のクロネッカー積を用いて、UHF代数の表現の非対称テンソル積を導入し、積状態から誘導されるGNS表現のテンソル積公式を確立する。主な貢献は、明示的なユニタリ同値性を構成し、状態ノルムとGNS表現の不交和性を用いて、交換されたテンソル積がユニタリ同値でないことを示すことにより、結果として得られるテンソル積が、可約表現でも非可換であることを証明することにある。

ABSTRACT

We introduce a non-symmetric tensor product of representations of UHF algebras by using Kronecker products of matrices. We prove tensor product formulae of GNS representations by product states and show examples.

研究の動機と目的

• UHF代数に既知のコムルティプリケーションが存在しないにもかかわらず、その表現に対する非対称テンソル積を構築すること。
• 従来、Cuntz代数およびCuntz-Krieger代数に用いられてきたKronecker積に基づくテンソル積の枠組みを、UHF代数へと拡張すること。
• UHF代数上の積状態に関連するGNS表現の明示的テンソル積公式を導出すること。
• 交換されたテンソル積がユニタリ同値でない例を構成することで、テンソル積の非可換性を示すこと。

提案手法

• UHF代数は $\mathbf{N}_{\geq 2}^\infty$ の系列に付随するものとして、行列代数のクロネッカー積を用いた同型写像の族によってテンソル積が定義される。
• UHF代数 $\mathcal{A}(\mathbf{a})$ 上の積状態 $\omega_{\mathbf{T}}$ は、有限次元行列代数 $M_{a_n}$ 上の状態の無限大テンソル積として構成される。
• 各積状態 $\omega_{\mathbf{T}}$ に付随するGNS表現 $\pi_{\mathbf{T}}$ が定義され、$\mathcal{A}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$ と $\mathcal{A}(\mathbf{a}) \otimes \mathcal{A}(\mathbf{b})$ 間の特定の $\varphi$-同型写像を介して、テンソル積 $\pi_{\mathbf{T}} \otimes_\varphi \pi_{\mathbf{R}}$ が定義される。
• テンソル積代数上の状態は、密度行列のクロネッカー積 $T^{(n)} \boxtimes R^{(n)}$ を用いて定義される。
• ユニタリ作用素 $U^{(\mathbf{T},\mathbf{R})}$ を用いて、構成された表現 $\pi_{\mathbf{T} \boxtimes \mathbf{R}}$ とテンソル積 $\pi_{\mathbf{T}} \otimes_\varphi \pi_{\mathbf{R}}$ のユニタリ同値性が確立される。
• 非可換性は、$\|\omega \otimes_\varphi \omega' - \omega' \otimes_\varphi \omega\| = 2$ を示すことにより証明され、これによりGNS表現が不交和であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コムルティプリケーションが存在しないUHF代数に対して、表現の非対称テンソル積を定義できるか？
• RQ2 積状態に関連するGNS表現は、テンソル積作用素に対してどのように振る舞うか？
• RQ3 UHF代数のGNS表現のテンソル積は可換か？
• RQ4 Kronecker積を用いた行列状態のテンソル積により、明示的なテンソル積公式を導出できるか？
• RQ5 このテンソル積における、不可約表現のユニタリ同値類の半群の構造はいかなるものか？

主な発見

• $\varphi$-同型写像を介したGNS表現 $\pi_{\mathbf{T}}$ と $\pi_{\mathbf{R}}$ のテンソル積は、状態のクロネッカー積により構成された表現 $\pi_{\mathbf{T} \boxtimes \mathbf{R}}$ とユニタリ同値である。
• テンソル積 $\otimes_\varphi$ は非可換である：特定の純粋積状態に対して $[\pi_{\mathbf{T}}] \otimes_\varphi [\pi_{\mathbf{R}}] \neq [\pi_{\mathbf{R}}] \otimes_\varphi [\pi_{\mathbf{T}}]$ が成り立つ。
• $\mathbf{a} = \mathbf{b} = (2,2,\ldots)$ で、$T = \mathrm{diag}(1,0)$、$R = \mathrm{diag}(0,1)$ のとき、ノルム差 $\|\omega \otimes_\varphi \omega' - \omega' \otimes_\varphi \omega\| = 2$ であり、これによりGNS表現が不交和であることが示される。
• $\mathbf{T}(J)$ が純粋積状態に対応する $J \in \{1,\ldots,n\}^\infty$ に対して、GNS表現 $\pi_{\mathbf{T}(J)}$ は不可約である。
• ユニタリ同値類の不可約表現の半群 $\mathcal{P} = \bigcup_{n \geq 2} \{P_n[J] : J \in \{1,\ldots,n\}^\infty\}$ は $\otimes_\varphi$ に関して閉じており、$P_n[J] \otimes_\varphi P_m[K] = P_{nm}[J \cdot K]$ が成り立つ。
• この構成は、Cuntz代数の置換的表現をゲージ不変UHF部分代数に制限したものに一般化され、それらがUHF代数の表現理論における「原子」であると特定される。