[論文レビュー] A test for the equality of covariance operators

Graciela Boente, Daniela Rodríguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Statistical Methods and Inference被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、複数の関数データ母集団間での共分散作用素の等価性を評価するため、ヒルバート＝シュミットノルムに基づく尤度比検定を提案する。帰無分布が解析的に扱いにくいため、ブートストラップ補正された臨界値が用いられ、モンテカルロシミュレーションにより小標本でも優れた性能を示す。

ABSTRACT

In many situations, when dealing with several populations, equality of the covariance operators is assumed. An important issue is to study if this assumption holds before making other inferences. In this paper, we develop a test for comparing covariance operators of several functional data samples. The proposed test is based on the Hilbert--Schmidt norm of the difference between estimated covariance operators. In particular, when dealing with two populations, the tests statistic is just the squared norm of the difference between the two covariance operators estimators. The asymptotic behaviour of the test statistic under the null and under local alternatives is obtained. Since the statistic null asymptotic distribution does not allow to obtain easily its quantiles, a bootstrap procedure to compute the critical values is considered. The performance of the test statistics for small sample sizes is illustrated through a Monte Carlo study.

研究の動機と目的

• 関数データ解析における共分散作用素の等価性に関する統計的検定の重要なニーズに対応すること。
• 関数データ設定で一般的な小標本サイズにおいても頑健で妥当な検定を構築すること。
• 複数の母集団間での共分散作用素の比較に実用的かつ計算可能な方法を提供すること。
• 帰無仮説および局所代替仮説の下での検定統計量の漸近的理論を確立すること。
• 帰無分布が解析的に扱いにくいため、ブートストラップに基づく臨界値を導出することで、実用的な推論を可能にすること。

提案手法

• 検定統計量は、推定された共分散作用素の差の二乗ヒルバート＝シュミットノルムとして定義される。
• 二つの母集団の場合、検定統計量は二つの標本共分散作用素推定量の差の二乗ノルムに簡略化される。
• 帰無仮説および局所代替仮説の下での検定統計量の漸近的分布が導出される。
• 帰無分布に閉形式の分位数が得られないため、非パラメトリックブートストラップ手順を用いて臨界値を近似する。
• 小標本の性能を評価するために、広範なモンテカルロシミュレーションを通じて手法の実装と評価が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の関数データ標本の共分散作用素が等しいかどうかを判断する検定を開発できるか？
• RQ2 共分散作用素が等しいという帰無仮説の下で、検定統計量はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 局所代替仮説の下で、検定統計量の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 帰無分布が解析的に扱いにくいかぎり、ブートストラップ手法が臨界値を信頼性高く近似できるか？
• RQ5 関数データ応用で一般的な小標本サイズにおいて、この検定はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布が導出され、検定の理論的裏付けが得られる。
• 局所代替仮説の下で、検定統計量は非心漸近的挙動を示し、パワー分析に有効である。
• 検定統計量の帰無分布には直接的な分位数計算が不可能であるため、ブートストラップ補正が不可欠となる。
• モンテカルロシミュレーションにより、有意水準が適切に維持され、小標本でも良好なパワーを示すことが確認された。
• ブートストラップ手順は臨界値を効果的に近似し、有限標本における有効な推論を保証する。