[論文レビュー] A test of goodness-of-fit for the copula densities

Ghislaine Gayraud, Karine Tribouley|ArXiv.org|Feb 27, 2009

Statistical Methods and Inference参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、真のコプラー密度がベゾフ球に属する場合でさえ、$L_2$-ノルムによる分離に対して最小最大率を達成する滑らかさに依存しない検定統計量を用いた、適応的適合度検定を提案する。この手法は未知の滑らかさに適応可能であり、最小最大率において $ olimits\log\log n$-項の損失しか発生せず、下界と上界の理論的保証が得られ、シミュレーションおよび実データによる検証も行われている。

ABSTRACT

We consider the problem of testing hypotheses on the copula density from $n$ bi-dimensional observations. We wish to test the null hypothesis characterized by a parametric class against a composite nonparametric alternative. Each density under the alternative is separated in the $L_2$-norm from any density lying in the null hypothesis. The copula densities under consideration are supposed to belong to a range of Besov balls. According to the minimax approach, the testing problem is solved in an adaptive framework: it leads to a $\log\log$ term loss in the minimax rate of testing in comparison with the non-adaptive case. A smoothness-free test statistic that achieves the minimax rate is proposed. The lower bound is also proved. Besides, the empirical performance of the test procedure is demonstrated with both simulated and real data.

研究の動機と目的

• 未知の滑らかさの下でコプラー密度の最小最大最適適合度検定を開発すること。
• 未知の正則性を伴う状況下で、パラメトリックな帰無仮説を、非パラメトリックな複合対立仮説に対して検定する課題に取り組むこと。
• 帰無仮説と対立仮説の密度間の最悪ケース分離距離（$L_2$-ノルム）を考慮した最小最大検定レートを確立すること。
• 未知の滑らかさに適応可能な、ベゾフ球のパラメータを事前に知らない検定統計量を提案すること。
• シミュレーションおよび実データを用いた実証的検証を通じて、理論的性能を検証すること。

提案手法

• 最小最大フレームワークにおいて検定問題を定式化し、対立仮説を帰無仮説から少なくとも $v_n$ の $L_2$-ノルムで分離されたすべての密度として定義する。
• コプラー密度のウェーブレットに基づく非パラメトリック推定を用いて、滑らかさに依存しないかつ適応可能な検定統計量を構築する。
• インゲスター（1982）の最小最大検定理論を応用し、対立仮説の最適分離レート $v_n$ を導出する。
• 検定リスク基準を用いて最小最大レートの下界を確立し、$v_n$ よりも速い分離レートを達成できるテストは存在しないことを証明する。
• ウェーブレット係数に基づく検定統計量を構築することで上界を確立し、最小最大レートが $ olimits\log\log n$ 要因の範囲内で達成されることを保証する。
• 集中不等式およびウェーブレット射影のモーメントバウンドを用いて、帰無仮説および対立仮説の両方において検定統計量の分散とバイアスを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の密度が未知の滑らかさを有するベゾフ球に属する場合、コプラー密度の適合度検定における最適レートは何か？
• RQ2 未知の滑らかさに適応可能でありながら、最小最大レートを達成できる検定統計量を構築できるか？
• RQ3 帰無仮説と対立仮説の間の $L_2$-ノルムにおける最小分離距離 $v_n$ は何か、これに対して検定が可能となるか？
• RQ4 未知の滑らかさの存在が最小最大レートに与える影響は何か？また、適応的検定において $ olimits\log\log n$-項の損失を回避できるか？
• RQ5 提案手法は、既存の手法と比較して有限標本における実験的性能はいかがなものか？

主な発見

• コプラー密度の $L_2$-ノルムにおける最小最大レートが同定され、非適応的設定と比較して適応的状況では $ olimits\log\log n$-項の損失が生じる。
• 実験的コプラー密度のウェーブレット係数に基づく滑らかさに依存しない検定統計量は、$ olimits\log\log n$ 要因の範囲内で最小最大レートを達成する。
• 検定リスク基準を用いて最小最大レートの下界が証明され、$v_n$ よりも速い分離レートを達成できるテストは存在しないことが示された。
• 帰無仮説のクラス全体にわたる第1種および第2種の誤り確率を一様に制御できる検定を構築することで、上界が確立された。
• シミュレーションおよび実データにおける実証的結果から、検定のロバスト性と良好な有限標本性能が確認された。
• コプラー密度がベゾフ球に属するという仮定のもとで、この手法は広範な滑らかさレベルを扱える。