[論文レビュー] A @-THEORETICAL PROOF OF HARTOGS' EXTENSION THEOREM ON STEIN SPACES WITH ISOLATED SINGULARITIES

Jean Ruppenthal|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、TakegoshiによるGrauert-Riemenschneiderの消滅定理の一般化を活用し、孤立特異点をもつ Stein 空間における Hartogs の拡張定理を @-理論的証明により提示する。∂-技法を用いて H¹_cpt(M, O) = 0 を確立することで、このような空間における codimension ≥2 のコンパクトな解析的部分集合を越えて正則関数を拡張することが可能となる。

ABSTRACT

Abstract. Let X be a connected normal complex space of dimension n ≥ 2 which is (n − 1)-complete, and let π: M → X be a resolution of singularities. By use of Takegoshi’s generalization of the Grauert-Riemenschneider vanishing theorem, we deduce H 1 cpt(M, O) = 0, which in turn implies Hartogs ’ extension theorem on X by the ∂-technique of Ehrenpreis. 1.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ正規複素空間に対して、コhomological 手法を用いて Hartogs の拡張定理を確立すること。
• 次元 n ≥ 2 の特異 Stein 空間 X の解体 M におけるコンパクト台付き第一コホモロジー群 H¹_cpt(M, O) の消滅を証明すること。
• Takegoshi の Grauert-Riemenschneider の消滅定理の一般化を応用し、コホモロジー的消滅を導出すること。
• ∂-技法および特異点の解体を用いて、古典的 Hartogs の定理を特異複素空間へ拡張すること。
• 特異点をもつ複素幾何学における拡張定理のための新しいコホモロジー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 次元 n ≥ 2 の正規複素空間 X に対して、特異点の解体 π: M → X を用いる。
• 解体 M に対して、Takegoshi の Grauert-Riemenschneider の消滅定理の一般化を適用する。
• X の (n−1)-完備性および消滅定理のコホモロジー的帰結を用いて、H¹_cpt(M, O) の消滅を導出する。
• Ehrenpreis の ∂-技法を用いて、codimension ≥2 のコンパクトな解析的部分集合を越えて正則関数を拡張できることを示す。
• X の正規性および (n−1)-完備性を用いて、拡張に必要なコホモロジー的条件を保証する。
• 第一コホモロジーにおけるコンパクト台付きコホモロジーの消滅を根拠として、拡張性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー的手法を用いて、孤立特異点をもつ正規複素空間に対する Hartogs の拡張定理を拡張できるか？
• RQ2 次元 n ≥ 2 の (n−1)-完備な正規 Stein 空間の解体 M に対して、H¹_cpt(M, O) の消滅は成立するか？
• RQ3 Takegoshi の Grauert-Riemenschneider の消滅定理の一般化は、特異複素幾何学においてどの程度応用可能か？
• RQ4 Ehrenpreis の ∂-技法は、孤立特異点をもつ状況での正則関数の拡張をどのように促進するか？
• RQ5 特異 Stein 空間における Hartogs の現象の有効性を保証するコホモロジー的条件は何か？

主な発見

• 次元 n ≥ 2 の (n−1)-完備な正規複素空間 X の解体 M に対して、コンパクト台付き第一コホモロジー群 H¹_cpt(M, O) は消える。
• H¹_cpt(M, O) の消滅は、解体 π: M → X に適用した Takegoshi の Grauert-Riemenschneider の消滅定理の一般化から導出される。
• Ehrenpreis の ∂-技法を用いることで、コホモロジー的消滅結果から X 上での Hartogs の拡張定理を導くことができる。
• X からコンパクトな解析的部分集合（codimension ≥2）を除いた部分で定義された正則関数は、その部分集合を越えて拡張可能である。
• 本結果は、解体およびコホモロジー的道具を用いて、古典的 Hartogs の定理を孤立特異点をもつ特異複素空間へ一般化する。
• 本証明は、特異点をもつ複素幾何学における拡張定理のための @-理論的枠組みを確立する。