[論文レビュー] A theory for Fluctuations in Stock Prices and Valuation of their Options

Gemunu H. Gunaratne, Joseph L. McCauley|ArXiv.org|Sep 19, 2002

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位置および時間に依存する拡散係数を有するフォッカー・プランク方程式に基づく新しいオプションプライシング理論を提案する。この理論により、リターンの非対称な指数分布が得られ、市場で観察されるボラティリティスミルを説明する。具体的には、大きな価格乖離に対してボラティリティが高くなることが、ブラック・ショールズ価格付けにおける有効ボラティリティの補正を自然に生じさせることを示している。

ABSTRACT

A new theory for pricing options of a stock is presented. It is based on the assumption that while successive variations in return are uncorrelated, the frequency with which a stock is traded depends on the value of the return. The solution to the Fokker-Planck equation is shown to be an asymmetric exponential distribution, similar to those observed in intra-day currency markets. The "volatility smile," used by traders to correct the Black-Scholes pricing is shown to provide an alternative mechanism to implement the new options pricing formulae derived from our theory.

研究の動機と目的

• 金融市場で観察される非ガウス型リターン分布を考慮する理論的枠組みを構築すること。
• 対数正規リターンと定常ボラティリティを仮定するブラック・ショールズモデルの限界を克服し、経験的に観察されるリターンダイナミクスを組み込むこと。
• 『ボラティリティスミル』という現象を便宜的な補正としてではなく、より現実的な確率過程の自然な結果として説明すること。
• 非対称なリターンのフラクチュエーションを捉えるために、二段階線形な拡散係数を有するフォッカー・プランク方程式の解を導出すること。
• 市場実務で用いられる有効ボラティリティ（ボラティリティスミル）が、提案モデルにおけるリターンの下位分布から導出可能であることを示すこと。

提案手法

• 連続するリターン変動は相関がないが、拡散係数 D(x,t) がリターン値 x と時間 t に依存することを仮定し、大きな価格乖離時に取引頻度が上昇することをモデル化する。
• スケーリングの仮定 W(x,t) = t^{-η} F(u) を用い、u = x/t^η と置くことで、フォッカー・プランク方程式から η = 1/2 を導出し、金融時系列における経験的スケーリングと整合する。
• 拡散係数を u の区分的線形関数としてモデル化：D(x,t) = (1/γ²)(1 - γu)Θ̄(u) + (1/ν²)(1 + νu)Θ(u) とし、γ ≠ ν によって非対称性を導入する。
• 得られたフォッカー・プランク方程式を解き、W(x,t) = A/(√t) e^{γu} Θ̄(u) + B/(√t) e^{-νu} Θ(u) の形の解を得る。A と B は正規化および連続性条件から決定される。
• この分布に基づき、ヨーロピアン・コールおよびプット・オプションの価格を明示的に導出し、ブラック・ショールズの予測とは乖離することを示す。
• 実市場データで観察される『ボラティリティスミル』が、モデルが予測するオプション価格と一致する有効ボラティリティ補正として解釈可能であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関のない増分を保ちつつ、非ガウス的かつ非対称なリターン分布を確率的枠組みでどのようにモデル化できるか？
• RQ2 経験的に観察された非対称な指数的リターン分布と一致する解を得るには、拡散係数がどのような形をとる必要があるか？
• RQ3 オプションプライシングにおける便宜的な補正として広く用いられるボラティリティスミルは、物理的に整合性のある確率過程からどれほど自然に導出可能か？
• RQ4 共通価格 S₀ を最小ボラティリティ点として含めることで、ブラック・ショールズモデルと比較してオプションのダイナミクスとプライシングにどのような影響を与えるか？
• RQ5 二次項などの高次補正（例：拡散係数の二次項）が、リターン分布のテール行動およびオプション評価に与える影響は何か？

主な発見

• 二段階線形な拡散係数を有するフォッカー・プランク方程式の解は、非対称な指数分布をリターンに与え、日次為替および債券市場の経験的データと一致する。
• 本モデルは、ガウスモデルと比較して、リターンの大きな乖離がより頻繁に発生することを予測し、ブラック・ショールズの予測を上回るオプション価格を生じさせる。
• モデルのオプション価格とブラック・ショールズの公式を一致させるために必要な有効ボラティリティは、実際の市場データで観察されるボラティリティスミル曲線と一致する。
• γ = 15.0 および ν = 10.0 の場合、リターン分布の年間ボラティリティは 11.5% であり、対応する有効ボラティリティ曲線 V_eff(K) は観察された市場のボラティリティスミルに非常に近い。
• 本モデルは、共通価格 S₀ が拡散係数が最小化される重要な点であり、リターン計算の自然な基準点であることを示している。
• 拡散係数に対する高次補正（例：二次項）により、分布のテールにパワー則的尾部が現れ、日次リターンで観察されるファットテール行動と整合する。