[論文レビュー] A theory for the zeros of Riemann Zeta and other L-functions

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点と他のL関数の零点を、コサイン関数の零点と直接的に結びつける、新しい超越方程式を提案する。この方程式により、臨界線上に一対一の対応関係が確立される。各nに対して方程式が一意な解を持つならば、リーマン予想が成立する。なぜなら、臨界線上の零点数が総数N(T)に一致するからである。

ABSTRACT

In these lectures we first review all of the important properties of the Riemann $\zeta$-function, necessary to understand the importance and nature of the Riemann hypothesis. In particular this first part describes the analytic continuation, the functional equation, trivial zeros, the Euler product formula, Riemann's main result relating the zeros on the critical strip to the distribution of primes, the exact counting formula for the number of zeros on the strip $N(T)$ and the GUE statistics of the zeros on the critical line. We then turn to presenting some new results obtained in the past year and describe several strategies towards proving the RH. First we describe an electro-static analogy and argue that if the electric potential along the line $\Re (z) =1$ is a regular alternating function, the RH would follow. The main new result is that the zeros on the critical line are in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and this leads to a transcendental equation for the $n$-th zero on the critical line that depends only on $n$. If there is a unique solution to this equation for every $n$, then if $N_0 (T)$ is the number of zeros on the critical line, then $N_0(T) = N(T)$, i.e. all zeros are on the critical line. These results are generalized to two infinite classes of functions, Dirichlet $L$-functions and $L$-functions based on modular forms. We present extensive numerical analysis of the solutions of these equations. We apply these methods to the Davenport-Heilbronn $L$-function, which is known to have zeros off of the line, and explain why the RH fails in this case. We also present a new approximation to the $\zeta$-function that is analogous to the Stirling approximation to the $\Gamma$-function.

研究の動機と目的

• リーマン・ゼータ関数の非自明な零点と、臨界線上のコサイン関数の零点との間の一対一の対応関係を確立すること。
• 臨界線上のn番目の零点を記述する超越方程式を導出すること。この方程式はnのみに依存し、リーマン予想の証明に役立てる可能性を秘めている。
• この対応関係をディリクレL関数およびモジュラー形式に基づくL関数へ一般化すること。
• ダベンポート＝ハイルブロンL関数に対してこの手法を適用し、その既知の非臨界線上に存在する零点の理由を理解すること。
• ガンマ関数のスターリングの近似に類似した、ゼータ関数に対する新しい漸近的近似を構築すること。

提案手法

• 電気的ポテンシャルの類似を用い、Re(s) = 1 上でポテンシャルが周期的で交互な関数であるならば、リーマン予想が成立する。
• コサイン関数の零点との対応に基づき、臨界線上のn番目の非自明な零点を記述する超越方程式を導出。この方程式はnのみに依存する。
• ディリクレL関数およびモジュラー形式L関数に対してもこの手法を適用し、より広いL関数のクラスへの対応関係を拡張する。
• 多数のL関数に対して、超越方程式の解の存在と一意性を検証するための広範な数値的分析を実施。
• ガンマ関数のスターリングの近似に類似した、ゼータ関数に対する新しい漸近的近似を構築する。
• ダベンポート＝ハイルブロンL関数を分析し、一意性条件が満たされないことを示し、非臨界線上に零点が存在する理由を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各nに対して導出された超越方程式が一意な解を持つならば、ゼータ関数のすべての非自明な零点が臨界線上にあると結論づけられるか？
• RQ2 ゼータ関数の零点とコサイン関数の零点との間の一対一の対応関係は、ディリクレL関数やモジュラー形式L関数へ一般化可能か？
• RQ3 なぜこの手法はダベンポート＝ハイルブロンL関数では失敗するのか？その理由は、既知の非臨界線上に存在する零点とどのように関係しているか？
• RQ4 新しいゼータ関数の近似の構造は何か？また、ガンマ関数のスターリングの近似と比較してどのように異なるか？
• RQ5 GUE統計など、零点の統計的性質は、新しい超越方程式の形式と整合するか？

主な発見

• リーマン・ゼータ関数の臨界線上の非自明な零点は、コサイン関数の零点と一対一に対応する。
• 臨界線上のn番目の零点を記述する超越方程式が導出され、この方程式はnのみに依存する。各nに対して一意な解が存在するならば、リーマン予想が成立する。
• この手法は、ディリクルL関数およびモジュラー形式L関数という2つの無限に広がるL関数のクラスへ、うまく一般化された。
• 数値的分析により、ゼータ関数および関連するL関数の超越方程式の解の存在と一意性が確認された。
• ダベンポート＝ハイルブロンL関数では一意性条件を満たさず、これによりその既知の非臨界線上に存在する零点と、リーマン予想の破綻が説明された。
• ガンマ関数のスターリングの近似に類似した、ゼータ関数に対する新しい漸近的近似が構築された。