[論文レビュー] A theory of characteristic currents associated with a singular connection

Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 64

ひとこと要約

本稿は、ベクトル bundle 上の特異接続に対して一般化されたChern-Weil理論を構築し、接続の曲率およびバンドル写像の特異性から $d$-閉特徴的カレントを構成する。主な貢献は、$φ(\Omega_F) - φ(\Omega_{F,\alpha}) = dT$ を満たす一意的なトランスグレッションカレント $T$ の構成であり、$φ(\Omega_{F,\alpha})$ は写像 $\alpha$ が特異的であっても特徴的類 $\phi(F)$ を表す。

ABSTRACT

This note announces a general construction of characteristic currents for singular connections on a vector bundle. It develops, in particular, a Chern-Weil-Simons theory for smooth bundle maps $α: E ightarrow F$ which, for smooth connections on $E$ and $F$, establishes formulas of the type $$ ϕ\ = \ ext{ m Res}_ϕΣ_α + dT. $$ Here $ϕ$ is a standard charactersitic form, $ ext{Res}_ϕ$ is an associated smooth ``residue'' form computed canonically in terms of curvature, $Σ_α$ is a rectifiable current depending only on the singular structure of $α$, and $T$ is a canonical, functorial transgression form with coefficients in $\loc$. The theory encompasses such classical topics as: Poincaré-Lelong Theory, Bott-Chern Theory, Chern-Weil Theory, and formulas of Hopf. Applications include:\ \ a new proof of the Riemann-Roch Theorem for vector bundles over algebraic curves, a $C^{\infty}$-generalization of the Poincaré-Lelong Formula, universal formulas for the Thom class as an equivariant characteristic form (i.e., canonical formulas for a de Rham representative of the Thom class of a bundle with connection), and a Differentiable Riemann-Roch-Grothendieck Theorem at the level of forms and currents. A variety of formulas relating geometry and characteristic classes are deduced as direct consequences of the theory.

研究の動機と目的

• バンドル写像 $\alpha: E \to F$ から生じる特異接続へのChern-Weil理論の拡張。
• 写像 $\alpha$ が同型でない場合でも $\phi(F)$ を表す特徴的カレント $\phi(\Omega_{F,\alpha})$ の定義。
• 標準的トランスグレッションカレント $T$ の構成、すなわち $\phi(\Omega_F) - \phi(\Omega_{F,\alpha}) = dT$ を満たし、Chern-Weil理論における標準的トランスグレッションを一般化する。
• 特徴的形式と退化部分集合との間の明示的公式の導出、特に $\operatorname{rank}(E) \leq \operatorname{rank}(F)$ の場合。
• $L^1_{\text{loc}}$-値カレントと近似スキームを用いて、MacPherson、Riemann-Roch、幾何解析の結果を統一・一般化する。

提案手法

• 写像 $\alpha$ の特異的逆写像 $\beta$ を正則化する関数 $\chi$ を用いた滑らかな近似モードを導入し、$F$ 上の滑らかな接続の族 $\overrightarrow{D}_s$ を得る。
• トランスグレッションカレント $T$ を、接続 $\overrightarrow{D}_s$ と元の接続 $D_F$ の特徴的形式の差の極限として定義し、公式 $T = \frac{i}{2\pi} \left\{ \frac{\phi(f)-\phi(e)}{f-e} \right\} \sigma$ を用いる。
• HarveyとPolkingのカーネル計算を用いて、理論を代数的曲線のRiemann-Roch定理に関連付ける。
• 原子的写像の場合、退化カレント $\operatorname{Div}(\alpha)$ を $d\left(\frac{1}{2\pi i} \frac{da}{a}\right)$ として構成し、ここで $a$ は $\alpha$ の局所的代表元である。
• 複素線束、滑らかな写像の微分、ベクトル bundle 上の複素構造などの幾何的設定に理論を適用し、MilnorカレントとCR臨界集合を含む公式を導出する。
• $\overrightarrow{D}_s$ を用いた1パラメータ族の公式を構築し、$s \to 0$ のとき特徴的形式が退化カレントに収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンドル写像 $\alpha: E \to F$ から生じる特異接続に対して、Chern-Weil理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 写像 $\alpha$ が特異的であっても $\phi(F)$ を表す特徴的カレント $\phi(\Omega_{F,\alpha})$ の一意的構成は何か。
• RQ3 トランスグレッションカレント $T$ は、元の接続の曲率と特異的に修正された曲率の間でどのように関係するか。
• RQ4 公式 $\phi(\Omega_F) - \phi(\Omega_{F,\alpha}) = \operatorname{Res}_\phi[\Sigma] + dT$ における残差形式 $\operatorname{Res}_\phi$ の明確な幾何的意味は何か。
• RQ5 これらの公式は、古典的結果（Poincaré-Lelong公式、Riemann-Roch定理など）をどのように一般化するか。

主な発見

• 任意の複素線束の原子的バンドル写像 $\alpha: E \to F$ に対して、$L^1_{\text{loc}}$-形式 $T$ が存在し、$\phi(f) - \phi(e) = \left\{ \frac{\phi(f)-\phi(e)}{f-e} \right\} \operatorname{Div}(\alpha) + dT$ を満たす。明示的公式は $T = \frac{i}{2\pi} \left\{ \frac{\phi(f)-\phi(e)}{f-e} \right\} \sigma$ である。
• 写像 $\alpha$ が線束の非退化的切断である場合、公式は $C^\infty$ 形式で古典的Poincaré-Lelong公式を回復し、$\operatorname{Div}(\alpha)$ はde Rhamコhomologyで $c_1(F) - c_1(E)$ を表す。
• $k$-原子的切断を持つ写像 $\alpha: \underline{\mathbb{C}}^{k+1} \to F$ に対して、最高位の退化カレント $\mathbb{D}_k(\alpha)$ は $c_{n-k}(\Omega_F) - \mathbb{D}_k(\alpha) = dT$ を満たし、ここで $T$ は $L^1_{\text{loc}}$-形式である。
• 向き付けられた4次元多様体 $X \to Y$ 間の滑らかな写像 $f$ の場合、公式は $\operatorname{rank}(df) = 2$ となる孤立した特異点における重み付き和に、$f^*p_1(Y) - p_1(X)$ を関連付ける。特異点に台を持つカレントを用いる。
• $n$-次元多様体 $M \to \mathbb{C}^{k+1}$ の写像 $f$ で $n-k=2\ell$ である場合、$\ell$-番目のPontrjagin形式は $p_\ell(\Omega_M) = (-1)^\ell \mathbb{Cr}(f) + dT$ を満たし、ここで $\mathbb{Cr}(f)$ は複素接線のカレントである。
• バンドル $E$ 上の2つのほぼ複素構造 $J_1, J_2$ に対して、カレント $\mathbb{Cr}(J_1, J_2) = \operatorname{Div}(\lambda)$ で、$\lambda = \Lambda^n_{\mathbb{C}} p$ とすると、$J_1 + J_2$ が非自明な核を持つ点の集合を表し、$\phi(e_2) - \phi(e_1) = \frac{\phi(e_2)-\phi(e_1)}{e_2-e_1} \mathbb{Cr}(J_1,J_2) + d\sigma_\phi$ を満たす。