[論文レビュー] A Theory of Hypoellipticity and Unique Ergodicity for Semilinear Stochastic PDEs

Martin Hairer, Jonathan C. Mattingly|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、多項式非線形性と加法的ノイズを有する半線形確率偏微分方程式における超擬態性および一意的エルゴード性を証明する一般枠組みを確立する。ホルマンの括弧条件の下で、マルチアン共分散作用素に一様な下界を導出することにより、漸近的強いフォーレル性が確立され、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式や反応拡散系のような方程式におけるエルゴード性が可能になる。

ABSTRACT

We present a theory of hypoellipticity and unique ergodicity for semilinear parabolic stochastic PDEs with "polynomial" nonlinearities and additive noise, considered as abstract evolution equations in some Hilbert space. It is shown that if Hormander's bracket condition holds at every point of this Hilbert space, then a lower bound on the Malliavin covariance operator $M_t$ can be obtained. Informally, this bound can be read as "Fix any finite-dimensional projection $Π$ on a subspace of sufficiently regular functions. Then the eigenfunctions of $M_t$ with small eigenvalues have only a very small component in the image of $Π$". We also show how to use a priori bounds on the solutions to the equation to obtain good control on the dependency of the bounds on the Malliavin matrix on the initial condition. These bounds are sufficient in many cases to obtain the asymptotic strong Feller property introduced in [HairerMattingly06]. One of the main novel technical tools is an almost sure bound from below on the size of "Wiener polynomials", where the coefficients are possibly non-adapted stochastic processes satisfying a Lipschitz condition. By exploiting the polynomial structure of the equations, this result can be used to replace Norris' lemma, which is unavailable in the present context. We conclude by showing that the two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations and a large class of reaction-diffusion equations fit the framework of our theory.

研究の動機と目的

• 多項式非線形性と加法的ノイズを有する半線形確率偏微分方程式における超擬態性および一意的エルゴード性の一般理論を構築すること。
• ホルマンの平方和の超擬態性定理を無限次元確率偏微分方程式に拡張すること。
• 一意的エルゴード性の証明に向けた重要なステップとして、漸近的強いフォーレル性を確立すること。
• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式や反応拡散方程式を含む広範なSPDEクラスに適用可能な枠組みを提供すること。
• 事前解推定を用いて、初期条件に依存するマルチアン行列の境界の制御を行うこと。

提案手法

• ホルマンの括弧条件の下で、マルチアン共分散作用素 $\mathcal{M}_t$ に下界を導出することにより、小さな固有値が正則関数部分空間への射影が無視できる成分に対応することを保証する。
• 解の事前境界を用いて、マルチアン行列の境界が初期条件に依存する感度を制御する。
• 非マルコフ的かつ非マルチアン設定におけるノリスの補題の代わりに、非適応的でリプシッツ連続係数を有するウィーナー多項式に対する確実な下界を導入する。
• 抽象的枠組みを具体的なSPDEに適用し、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式や反応拡散方程式に対して条件が満たされることを検証する。
• 非線形性の多項式構造を活用して、マルチアン行列に関する定量的推定を得る。
• 導出された境界を用いて漸近的強いフォーレル性を確立し、適切な条件下で一意的エルゴード性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式非線形性と加法的ノイズを有する半線形SPDEが、どのような条件下で一意な不変測度を有するか。
• RQ2 ホルマンの括弧条件をどのように無限次元SPDEにおける超擬態性を保証するために用いることができるか。
• RQ3 漸近的強いフォーレル性を保証するために、マルチアン共分散作用素に必要なおよび十分な境界は何か。
• RQ4 マルコフ的または適応的でない仮定の下で、初期条件に依存するマルチアン行列の境界をどのように制御できるか。
• RQ5 抽象的条件が、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式や反応拡散方程式といった具体的なSPDEにどの程度適用可能か。

主な発見

• 初期条件のヒルバート空間上でのホルマンの括弧条件は、マルチアン共分散作用素 $\mathcal{M}_t$ に一様な下界をもたらし、小さな固有値が正則関数部分空間の有限次元部分空間への射影が無視できる成分に対応することを保証する。
• 解の事前境界により、マルチアン行列の境界が初期条件に依存する感度を制御でき、状態空間全体にわたる一様推定が可能になる。
• 非適応的でリプシッツ連続係数を有するウィーナー多項式に対する確実な下界が確立され、非マルコフ的文脈におけるノリスの補題の代わりに機能する。
• 導出された境界の下で漸近的強いフォーレル性が達成され、これは一意的エルゴード性を示すために重要なステップである。
• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式は、本理論の条件を満たしており、与えられた枠組みの下で一意的エルゴード性を示す。
• 多項式非線形性と加法的ノイズを有する反応拡散方程式の広いクラスも本枠組みを満たしており、一意的エルゴード性が確認される。