[論文レビュー] A Theory of Mesoscopic Phenomena: Time Scales, Emergent Unpredictability, Symmetry Breaking and Dynamics Across Different Levels

Ping Ao, Hong Qian+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、確率的高速ダイナミクス、非線形中間スケールダイナミクス、およびクラマース理論に従うレアなアトラクター間遷移を統合する、ミクロスコピックダイナミクスのための数学的枠組みを提案する。対称性の破れ、分岐、相転移を統合することで、ミクロスコピック系が、完全に決定論的でもなく、完全にマルコフ的でもないが、時間的・系サイズスケールにわたって階層的に構造化された、アトラクター間の顕著な離散的確率的ジャンプを示すことが示された。

ABSTRACT

Integrating symmetry breaking originally advanced by Anderson, bifurcation from nonlinear dynamical systems, Landau's phenomenological theory of phase transition, and the mechanism of emergent rare events first studied by Kramers, we propose a mathematical representation for mesoscopic dynamics which links fast motions below (microscopic), movements within each discrete state (intra-basin-of-attraction) at the middle, and slow inter-attractor transitions with rates exponentially dependent upon the size of the system. The theory represents the fast dynamics by a stochastic process and the mid-level by a nonlinear dynamics. Multiple attractors arise as emergent properties. The interplay between the stochastic element and nonlinearity, the essence of Kramers' theory, leads to successive jump-like transitions among different basins. We describe each transition as a dynamic symmetry breaking exhibiting Thom-Zeeman catastrophe and phase transition with the breakdown of ergodicity (differentiation). The dynamics of a nonlinear mesoscopic system is not deterministic, rather it is a discrete stochastic jump process. Both the Markov transitions and the very discrete states are emergent phenomena. This emergent inter-attractor stochastic dynamics then serves as the stochastic element for the nonlinear dynamics of a level higher (aggregates) on an even larger spatial and longer time scales (evolution). The mathematical theory captures the hierarchical structure outlined by Anderson and articulates two types of limit of a mesoscopic dynamics: A long-time ensemble thermodynamics in terms of time t, followed by the size of the system N, tending infinity, and a short-time trajectory steady state with N tending infinity followed by t tending infinity. With these limits, symmetry breaking and cusp catastrophe are two perspectives of a same mesoscopic system on different time scales.

研究の動機と目的

• ミクロスケールとマクロスケールの間をつなぐミクロスコピックダイナミクスを捉える数学的理論を開発すること。
• 非線形性と確率性の相互作用から生じる、離散的確率的ジャンプや対称性の破れといった顕在的現象がどのように生じるかを説明すること。
• ミクロスコピック系の階層的構造を形式化し、ミクロスコピックダイナミクスが上位レベルの系の確率的入力として機能することを明確にすること。
• 熱力学的および軌道的定常状態を定義する時間と系サイズの二重極限を明らかにし、対称性の破れとカスプカタストロフが二重の視点として現れることを示すこと。
• アンダーソンの顕在的現象、ランダウの相転移、クラマースのレアイベントの概念を統合し、一貫性のあるミクロスコピック枠組みを構築すること。

提案手法

• 高速なマイクロスコピック運動を確率過程としてモデル化し、アトラクター内での内部ダイナミクスを表現する。
• 各アトラクターの盆地内での非線形ダイナミクスを用いて中間スケールのダイナミクスを表現し、複数の顕在的アトラクターを導く。
• クラマース理論を用いて、アトラクター間のレアでジャンプ的な遷移を記述し、遷移レートが系サイズNに指数関数的に依存することを示す。
• アトラクター間遷移を、トム＝ジーマンのカタストロフ理論と関連づけた動的対称性の破れとして特徴づけ、エルゴード性の破れを伴う相転移と結びつける。
• 二つの明確な極限を定義する：(1) t → ∞ その後 N → ∞（アンサンブル熱力学）、(2) N → ∞ その後 t → ∞（軌道的定常状態）、これにより対称性の破れを二重の視点として明らかにする。
• 非線形性と確率性の相互作用を用いて、顕在的マルコフ遷移と離散的状態を、上位レベルの現象として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・系サイズスケールにわたる、確率的および非線形プロセスの階層として、ミクロスコピックダイナミクスをどのように数学的に表現できるか？
• RQ2 ミクロスコピック系におけるアトラクター間の顕在的離散的確率的ジャンプの起源は何か？
• RQ3 時間的・系サイズスケールの異なる極限において、対称性の破れとカスプカタストロフが二重の視点としてどのように出現するか？
• RQ4 マルコフ遷移と離散的状態自体が、ミクロスコピック枠組みにおいてどのように顕在的現象として現れるか？
• RQ5 非線形性と確率性の相互作用が、ミクロスコピック系における相転移およびエルゴード性の破綻をどのように引き起こすか？

主な発見

• ミクロスコピックダイナミクスは決定論的ではなく、顕在的アトラクター間の離散的確率的ジャンププロセスであり、レアイベントによって駆動される。
• マルコフ遷移と離散的状態の両方が顕在的であり、高速な確率的ダイナミクスと中間スケールの非線形ダイナミクスの非線形的相互作用から生じる。
• アトラクター間遷移はクラマースのメカニズムに従い、遷移レートが系サイズNに指数関数的に依存し、大スケールでは遅いダイナミクスを示す。
• 対称性の破れとカスプカタストロフは、同じ系の二重の視点である：一つは長時間アンサンブル極限、もう一つは短時間軌道極限。
• 理論は、ミクロスコピックダイナミクスが上位レベルの系の確率的入力として機能する階層的構造を確立し、より大きな空間的・時間的スケールでの進化を可能にする。
• 二重極限（t → ∞ その後 N → ∞、および N → ∞ その後 t → ∞）により、対称性の破れとカスプカタストロフが、異なるスケーリング領域におけるミクロスコピック行動の同等な記述であることが明らかになった。