[論文レビュー] A theory of Miyawaki liftings: The Hilbert-Siegel case

Hiraku Atobe|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、拡張されたイケダ上りとシー・サーフ双対性を用いて、ヒルベルト-サイエールモジュラー形式におけるミヤワキ上りのグローバルおよびローカル理論を確立する。特定の$L$-パrameterおよび$\varepsilon$因子に関する条件下でミヤワキ上りの非消滅を示すことにより、グローバル・ガン–グロス–プラサド予想とアーチャーの多重度公式を用いて、ローカル・ガン–グロス–プラサド予想の新しいケースを証明する。

ABSTRACT

The Miyawaki liftings are defined by the pullbacks of Ikeda liftings. Recently, Ikeda and Yamana extended the theory of Ikeda liftings. In this paper, using their results, we establish a theory of Miyawaki liftings, both locally and globally. In the local theory, we describe the Miyawaki liftings for almost tempered unitary representations explicitly. In the global theory, we discuss the non-vanishing of the Miyawaki liftings using seesaw identities and the global Gan-Gross-Prasad conjecture. As an application of local Miyawaki liftings, we prove a new case of the local Gan-Gross-Prasad conjecture.

研究の動機と目的

• 拡張されたイケダ上りを用いて、全実数体$F$上の自動形式表現に対して、シー・サーフ双対性を用いたヒルベルト-サイエールモジュラー形式におけるミヤワキ上りの包括的なローカルおよびグローバル理論を構築すること。
• シー・サーフ恒等式およびグローバル・ガン–グロス–プラサド予想を用いて、ミヤワキ上りの非消滅問題を扱うこと。
• ミヤワキ上りと$L$-パrameter条件および$\varepsilon$因子を関連付けることにより、ローカル・ガン–グロス–プラサド予想の新しいケースを証明すること。
• ほとんど定値単位的表現の$L$-パケッジの内部構造の観点から、ミヤワキ上りの非消滅を記述すること。

提案手法

• 本稿は、シー・サーフ双対性を用いて、ミヤワキ上りを誘導表現間の$\mathrm{Hom}$-空間およびシータ上りの非消滅と関連付ける。
• 非可約主系列およびウェイの表現を用いて、全実数体$F$上の自動形式表現に対して、拡張されたイケダ上りの構成を適用し、ミヤワキ上りを定義する。
• ローカル理論は、ローカル・ラングランズ対応およびアーチャーの多重度公式を用いて、ほとんど定値単位的表現の$L$-パラメータおよび$\varepsilon$因子を記述する。
• グローバル理論は、グローバル・ガン–グロス–プラサド予想を用いて、ミヤワキ上りの非消滅を$L$-関数の中心$L$-値および根数に結びつける。
• シー・サーフ恒等式を用いて、$d_{n,n,\xi}(\pi_1', \pi_2')$の非消滅を、$d_{r,r-1,\xi}(\pi_1, \pi_2)$の非消滅に還元し、上りの過程における異なる段階を結びつける。
• 本稿は、$d_{n,n,\xi}(\pi_1', \pi_2') \neq 0$であるための必要十分条件として、$L$-パラメータに関する特定の$\varepsilon$因子および行列式条件が満たされることを証明し、既知のケースを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全実体上の自動形式表現に対して、ミヤワキ上り$\mathcal{M}^{(2n+r)}(g, F^{(2n+2r)})$が非消滅する条件は何か？
• RQ2 シー・サーフ双対性は、ミヤワキ上りの非消滅をローカル・ガン–グロス–プラサド予想に関連付けるためにどのように用いられるか？
• RQ3 $L$-パラメータおよび$\varepsilon$因子は、ミヤワキ上りの非消滅を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 ミヤワキ上りの非消滅は、ほとんど定値表現の$L$-パケッジの内部構造の観点から特徴づけられるか？
• RQ5 ミヤワキ上りの理論から、ローカル・ガン–グロス–プラサド予想の新たなケースをどのように導出できるか？

主な発見

• $L$-パラメータおよび偶奇に関する条件下で、$d_{n,n,\xi}((\mu\chi_{-1}^{n+r-1}\circ\det_{n-r})\rtimes\pi_1, (\mu\chi_{\xi}\circ\det_{n-r+1})\rtimes\pi_2) = d_{r,r-1,\xi}(\pi_1, \pi_2)$が成り立つことを証明し、ローカル・ガン–グロス–プラサド予想の新しいケースを確立する。
• ミヤワキ上り$\mathcal{M}^{(r)}_{\psi,\tau'}(\pi_1')$の非消滅は、シー・サーフ双対性を介して、$d_{n,n,\xi}(\pi_1', (\mu\chi_{\xi}\circ\det_{n-r+1})\rtimes\pi_2)$の非消滅と同値である。
• 本稿は、$d_{n,n,\xi}(\pi_1', \pi_2') \neq 0$であるための必要十分条件として、$L$-パラメータに関する特定の$\varepsilon$因子および行列式条件が満たされることを示し、既知の結果を一般化する。
• $n=r$または$n=r+1$、または$\phi_1$が$d \geq n-r$で$d \equiv n-r \pmod{2}$を満たす$\mu^{\pm1}S_d$を含まないとき、ミヤワキ上りの非消滅は$\pi_1$および$\pi_2$の$L$-パケッジ構造によって決定される。
• 本理論は、シー・サーフ恒等式および$L$-パラメータデータを用いて、ミヤワキ上りの非消滅を計算する方法を提供し、アーチャーの多重度公式が示唆する範囲を越えて拡張する。
• 結果は、ミヤワキ上りの非消滅が$L$-関数の算術的条件および根数、特に$\varepsilon(1/2, \tau) = 1$および中心$L$-値の非消滅によって支配されることを確認する。