[論文レビュー] A theory of tensor products for vertex operator algebra satsifying C_2-cofiniteness

Masahiko Miyamoto|ArXiv.org|Sep 22, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、有理的性や $L(0)$-半単純性を仮定しない $C_2$-cofiniteness 条件の下で、頂点作用代数（VOA）のテンソル積理論を展開する。Artin 加群（有限合成系列を持つ弱加群）を導入し、そのカテゴリがブレードテンソルカテゴリをなすことを証明することで、Huang-Lepowsky理論の自然な拡張が可能となる。主な結果は、$C_2$-cofiniteness が Artin 加群のテンソル積が再び Artin 加群であることを保証し、自然な結合則および交換則を満たすことである。

ABSTRACT

We reformed the tensor product theory of vertex operator algebras developed by Huang and Lepowsky so that we could apply it to all vertex operator algebras satisfying C_2-cofiniteness. We also showed that the tensor product theory develops naturally if we include not only ordinary modules, but also weak modules with a composition series of finite length (we call it an Artin module). In particular, we don't assume the semisimplicity of the weight operator L(0). Actually, without the assumption of rationality, a C_2-cofiniteness on V is enough to obtain the existence of a tensor product of two Artin modules and natural associativity of tensor products. Namely, the category of Artin modules becomes a braided tensor category. As an application of the tensor product theory under C_2-cofiniteness, we proved the rationality of some orbifold models. For example, if a vertex operator algebra V has a finite automorphism group and the fixed point vertex operator subalgebra V^G is C_2-cofinite, then for any irreducible V^{}-module W, there is an element h\in such that W is contained in some h-twisted V-module. Furthermore, if V^G is rational, then V^{} is also rational for any g\in G.

研究の動機と目的

• 有理的性および $L(0)$-半単純性の制限的仮定を除いて、頂点作用代数の Huang-Lepowsky テンソル積理論を拡張すること。
• 有理的性の仮定なしに、$C_2$-cofiniteness が、より広いクラスの加群におけるテンソル積の存在および自然性を保証することを示すこと。
• 有限合成系列を持つ弱加群である Artin 加群を導入し、それがテンソルカテゴリにおける自然な対象であることを正当化すること。
• 発展した理論を応用して、特に固定点部分代数において、オルビフォルト VOA における有理的性および加群の包含関係を証明すること。
• 完全可約性を事前に仮定しない状況でも、$C_2$-cofiniteness の下でオルビフォルトモデルの表現論の枠組みを提供すること。

提案手法

• Artin 加群を、有限合成系列を持つ弱 $V$-加群として定義し、通常の加群を一般化する。
• $C_2$-cofiniteness 条件と相互作用演算子を用いて、Artin 加群 $W_1, W_2$ の $\lambda$-twisted テンソル積 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ を構成する。
• テンソル積 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ が再び Artin 加群であることを証明し、テンソル積演算に関して閉じていることを保証する。
• universal property を用いて、$P(\lambda)$-テンソル積の自然な同型を用いて、テンソル積の交換則および結合則を確立する。
• $L(0)$-根基 $J_{L(0)}(W_1 \boxtimes_\lambda W_2)$ を通常の $P(\lambda)$-テンソル積と関連付け、新規の構成を古典的理論と結びつける。
• $G$-twisted 加群の解析と $V$ および $V^G$ の $G$-不変構造を用いて、オルビフォルト VOA に理論を適用し、$C_2$-cofiniteness を利用して $V^{\langle g \rangle}$ の有理的性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的性や $L(0)$-半単純性を仮定しない $C_2$-cofiniteness 条件のもとで、頂点作用代数のテンソル積理論を構築できるか？
• RQ2 有限合成系列を持つ弱加群である Artin 加群は、テンソル積に関して閉じており、良好に振る舞うカテゴリをなすか？
• RQ3 2つの Artin 加群のテンソル積は再び Artin 加群であるか？ また、自然な結合則および交換則の同型が成り立つか？
• RQ4 $C_2$-cofiniteness が固定点部分代数 $V^G$ に成り立つ場合、$g \in G$ に対して $V^{\langle g \rangle}$ が有理的であるか？
• RQ5 $V^G$ が $C_2$-cofinite であるとき、任意の不可約 $V^{\langle g \rangle}$-加群は、ある $h \in \langle g \rangle$ に対する $h$-twisted $V$-加群の部分加群として実現可能か？

主な発見

• 任意の $C_2$-cofinite な頂点作用代数 $V$ に対して、2つの Artin $V$-加群 $W_1, W_2$ のテンソル積 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ が存在し、同型を除いて一意に定まる。
• テンソル積 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ は再び Artin 加群であるため、テンソル積に関してカテゴリが閉じていることが保証される。
• Artin $V$-加群のカテゴリは、交換則および結合則の自然な同型を備えており、ブレードテンソルカテゴリをなす。
• 商 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2 / J_{L(0)}(W_1 \boxtimes_\lambda W_2)$ は $P(\lambda)$-テンソル積と同型であり、新理論が古典的 Huang-Lepowsky 結果と結びついている。
• $V^G$ が $C_2$-cofinite かつ有理的であれば、任意の $g \in G$ に対して $V^{\langle g \rangle}$ は有理的であり、任意の不可約 $V^{\langle g \rangle}$-加群は、ある $h \in \langle g \rangle$ に対する $h$-twisted $V$-加群の部分加群として含まれる。
• $V_L$ を格子 VOA とするとき、$(V_L)^+$ のオルビフォルトモデルは、$V_{\mathbb{Z}a}^+$ が有理的である限り、$C_2$-cofiniteness により $V^G$ が成り立つことから、有理的であることが示される。