[論文レビュー] A Theory of Transfers: Duality and convolution

Malcolm Bowles, Nassif Ghoussoub|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、最適輸送、弱輸送、確率過程を一般化する線形および凸輸送の統一的理論を提示する。双対性公式を確立し、有効な輸送および双対カントロビッチ作用素を定義し、弱KAM理論を確率的設定へ拡張する。主な結果として、輸送不等式および一般化されたペイエルスバリアを用いた収束に関する結果が得られる。

ABSTRACT

We introduce and study the permanence properties of the class of linear transfers between probability measures. This class contains all cost minimizing mass transports, but also martingale mass transports, the Schrodinger bridge associated to a reversible Markov process, and the weak mass transports of Tala- grand, Marton, Gozlan and others. The class also includes various stochastic mass transports to which Monge-Kantorovich theory does not apply. We also introduce the cone of convex transfers, which include any p-power (p > 1) of a linear transfer, but also the logarithmic entropy, the Donsker-Varadhan infor- mation and certain free energy functionals. This first paper is mostly about exhibiting examples that point to the pervasiveness of the concept in the important work on correlating probability distributions. Duality formulae for general transfer inequalities follow in a very natural way. We also study the infinite self-convolution of a linear transfer in order to establish the existence of generalized weak KAM solutions that could be applied to the stochastic counterpart of Fathi-Mather theory.

研究の動機と目的

• 最適輸送、弱輸送、確率過程、エントロピー関数など、多様な輸送型問題を、一つの理論的枠組みで統一すること。
• 古典的なモンゴル・カンタロビッチ理論を超えた、非コスト最小化および非対称問題を含む、輸送の双対理論を構築すること。
• 有効な輸送および双対作用素を用いて、弱KAM理論を確率的および凸的設定へ一般化すること。
• 一般化されたペイエルスバリアおよび漸近的合成を用いて、輸送不等式および収束結果を確立すること。

提案手法

• 確率測度上の汎関数として線形輸送を導入し、コスト最小化輸送を一般化し、マルティングル、スコロホド、シュレーディンガー・ブリッジ問題を含む。
• 漸近的合成による輸送の非漸近的合成を通じて、双対カントロビッチ作用素および有効輸送（一般化されたペイエルスバリア）を定義する。
• 双対性理論を適用し、凸および後向き完全凸輸送の間の不等式を導出し、ボブコフ＝ゴツェおよびモアレイ型の結果を拡張する。
• 弱*連続性および凸性を用いて、測度および輸送の列の収束を証明し、固定点の存在を確立する。
• 押し出し写像および連続的ダイナミクスに理論を適用し、$ T^\infty f = f \circ \sigma^\infty $ が成り立つことを示す。ここで $ \sigma^\infty $ は繰り返し写像の極限である。
• また、$ \mathcal{T}_\infty = \mathcal{T}_\infty * \mathcal{T}_\infty $ が成り立つことを示し、不変測度に対して $ \mathcal{T}_\infty(\bar{\sigma}, \bar{\sigma}) = 0 $ となることから、不変測度および固定点への関連を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なモンゴル・カンタロビッチ理論を超えて、確率的および非コスト最小化問題を含む多様な輸送問題を統一的に記述する枠組みはどのように構築できるか？
• RQ2 一般線形および凸輸送における双対性構造は何か？ そして、ボブコフ＝ゴツェおよびモアレイ型の不等式はどのように拡張されるか？
• RQ3 有効な輸送および双対作用素を用いて、弱KAM理論を確率的設定へ一般化できるか？
• RQ4 一般化されたペイエルスバリアは、不変測度および輸送列の収束を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ5 押し出し写像および繰り返しダイナミクスは、輸送およびその双対作用素の漸近的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 線形輸送のクラスには、コスト最小化輸送、マルティングル輸送、スコロホド埋め込み、シュレーディンガー・ブリッジが含まれ、多様な輸送問題を統一する。
• 輸送不等式のための双対性公式が自然に導かれ、ボブコフ＝ゴツェ、ゴズラン＝レオンアルド、およびモアレイの結果を拡張する。
• 有効輸送 $ \mathcal{T}_\infty $ は $ \mathcal{T}_\infty = \mathcal{T}_\infty * \mathcal{T}_\infty $ を満たし、不変測度 $ \bar{\sigma} $ に対して $ \mathcal{T}_\infty(\bar{\sigma}, \bar{\sigma}) = 0 $ となることから、固定点が特徴づけられる。
• 押し出し輸送に対して、双対作用素は $ T^\infty f = f \circ \sigma^\infty $ と表され、$ \sigma^\infty $ は繰り返し写像の $ \limsup $ である。連続でない場合でも成り立つ。
• 理論により $ \mathcal{T}_\infty(\mu, \nu) \geq \mathcal{T}_\infty(\mu, \bar{\sigma}) + \mathcal{T}_\infty(\bar{\sigma}, \nu) $ が成り立ち、極限で等号が成立することを示し、不変構造への収束を証明する。
• 輸送の凸錐には $ p $-乗数輸送、対数エントロピー、ドンスカー＝バラドハン情報、および平均場計画が含まれ、広範な適用可能性を示す。