[論文レビュー] A theory of turbulence based on scale relativity

Louis de Montera|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非微分可能でフラクタルな速度空間において流体力学を再定式化することで、スケール相対性を用いた乱流理論を提案する。微分可能性の仮定を緩和することで、フラクタル成分と非フラクタル成分を有する速度方程式が導かれる。この理論では、フラクタル成分が乱流のコルモゴロフ則と一致し、実験と整合するエネルギー散逸率を予測する。遷移はレイノルズ数 ≈ 1 で発生する。

ABSTRACT

The internal interactions of fluids occur at all scales therefore the resulting force fields have no reason to be smooth and differentiable. The release of the differentiability hypothesis has important mathematical consequences, like scale dependence and the use of a higher algebra. The law of mechanics transfers directly these properties to the velocity of fluid particles whose trajectories in velocity space become fractal and non-deterministic. The principle of relativity is used to find the form of the equation governing velocity in scale space. The solution of this equation contains a fractal and a non-fractal term. The fractal part is shown to be equivalent to the Lagrangian version of the Kolmogorov law of fully-developed and isotropic turbulence. It is therefore associated with turbulence, whereas the non-fractal deterministic term is associated with a laminar behavior. These terms are found to be balanced when the typical velocity reaches a level at which the Reynolds number is equal to one, in agreement with the empirical observations. The rate of energy dissipated by turbulence in a flow passing an obstacle that was only known from experiments can be derived theoretically from the equation's solution. Finally, a quantum-like equation in velocity space is proposed in order to find the probability of having a given velocity at a given location. It may eventually explain the presence of large scale coherent structures in geophysical turbulent flows, like jet-streams.

研究の動機と目的

• 流体力学における微分可能性の仮定を緩和することで、マルチスケール相互作用を説明する理論的枠組みを構築すること。
• 非微分可能でフラクタルな軌道が速度空間に存在することによって、乱流的挙動が生じることを説明すること。
• スケール相対性の原則を用いて、最初の原理からコルモゴロフのスケーリング則を導出すること。
• レイノルズ数が1に達するときに層流と乱流の遷移が発生することを特定すること。
• 速度空間における量子的類似方程式を提示し、地球物理的流れにおける大規模な秩序構造を説明できる可能性を示すこと。

提案手法

• 理論は、速度空間が非微分可能でフラクタルな多様体となるスケール相対性フレームワークにおける相対性の原理を適用する。
• スケール依存効果と高次代数的構造を組み込んだスケール空間における新しい運動方程式を導出する。
• この方程式の解には、フラクタル成分と非フラクタルな決定論的成分の2つの項が含まれる。
• フラクタル項が、コルモゴロフの1941年乱流則のラグランジュ的形を解析的に再現することを示した。
• フラクタル成分と非フラクタル成分のバランスはレイノルズ数によって決定され、遷移は Re ≈ 1 で発生する。
• 速度空間に、シュレーディンガー方程式に類似した確率分布を記述する量子的類似方程式を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体力学の軌道の微分可能性を緩和する根本的原理から、乱流を導出できるか？
• RQ2 速度空間のフラクタル構造が、完全に発達した乱流のコルモゴロフスケーリング則を自然に生じさせるか？
• RQ3 この枠組みにおいて、層流から乱流への遷移が発生するレイノルズ数は何か？
• RQ4 スケール相対性方程式から、乱流におけるエネルギー散逸率を理論的に導出できるか？
• RQ5 速度空間における速度の確率分布は、ジェット気流のような大規模な秩序構造の形成を説明できるか？

主な発見

• 速度解のフラクタル成分が、コルモゴロフの1941年乱流則のラグランジュ的形と一致し、乱流に対する物理的妥当性が確認された。
• 非フラクタル成分は、層流的で決定論的な流体挙動に対応し、両流れ状態を統一的に記述する。
• フラクタル成分と非フラクタル成分のバランスが、レイノルズ数が1に達するときに正確に発生し、実験的観察と整合する。
• 理論的導出により、障害物を通過する乱流におけるエネルギー散逸率が得られ、実験値と一致した。
• 速度空間に量子的類似方程式を提示した。これは、地球物理的乱流における大規模な秩序構造の出現を説明する可能性を示唆する。