[論文レビュー] A three point formula for finding roots of equations by the method of least squares

Ababu Teklemariam Tiruneh, N. Ndlela+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3つの等間隔な点を用いて最小二乗法によりべき関数 P(x) = a(x−b)^N をフィッティングし、反復的に根の推定値を改善する導関数を必要としない反復的根の求め方を提案する。この手法は、導関数の評価を必要とせず、ニュートン法と同等の2次収束を達成するが、一部のケースではセカント法やニュートン法と比較してより速い収束を示す。

ABSTRACT

A new method of root finding is formulated that uses a numerical iterative process involving three points. A given function y = f(x) whose roots are desired is fitted and approximated by a polynomial function of the form P(x)= a(x-b)^N that passes between three equi-spaced points using the method of least squares. Successive iterations using the same procedure of curve fitting is used to locate the root within a given level of tolerance. The power N of the curve suitable for a given function form can be appropriately varied at each step of the iteration to give a faster rate of convergence and avoid cases where oscillation, divergence or off shooting to an invalid domain may be encountered. An estimate of the rate of convergence is provided. It is shown that the method has a quadratic convergence similar to that of Newton's method. Examples are provided showing the procedure as well as comparison of the rate of convergence with the secant and Newton methods. The method does not require evaluation of function derivatives.

研究の動機と目的

• 非線形方程式を解くための導関数を必要としない反復的手法の開発。
• 各反復でフィットされた多項式のべき乗 N を適応的に調整することで、収束速度と安定性を向上させる。
• ニュートン・ラプソン法など従来の手法で一般的に見られる発散や振動の問題を回避する。
• 導関数の計算を必要とせず、ニュートン法やセカント法の代替として頑健な代替手法を提供する。
• 数値例と比較を通じて2次収束の挙動を実証する。

提案手法

• 関数 f(x) 上の3つの等間隔な点を選んで、最小二乗法を用いてべき関数 P(x) = a(x−b)^N をフィッティングする。
• 得られた多項式を用いて P(x) = 0 を解き、新たな反復点を推定する。
• 関数の局所的挙動に基づいて各反復でべき乗 N を適応的に調整し、収束を向上させる。
• 収束が指定された許容誤差内に達するまで、このプロセスを反復する。
• 各反復で関数値を3点分のみに依存するため、導関数の評価を完全に回避する。
• 収束は、連続する反復点の差と残差の両方をチェックすることで監視する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3点の最小二乗フィッティングによるべき関数が、導関数の評価なしに2次収束を達成できるか。
• RQ2 各反復でべき乗 N を適応的に選択することで、収束速度と安定性にどのような影響を与えるか。
• RQ3 実用的なケースにおいて、この手法がニュートン法やセカント法の収束速度を上回るか、同等の性能を発揮するか。
• RQ4 この手法が発散や振動を回避する条件は何か。
• RQ5 曲率や非線形性が異なる関数に対して、この手法はどのように性能を発揮するか。

主な発見

• 数値実験により、本手法はニュートン法と同等の2次収束を達成することが確認された。
• べき乗 N を適応的に調整することで、関数が非常に非線形であっても収束速度が維持される。
• 初期値が悪くても、または導関数がゼロになる場合にニュートン法が発散するケースでも、本手法は発散や振動を回避する。
• テスト例では、セカント法よりも速く収束し、導関数を必要としない点でニュートン法と同等の性能を示した。
• べき関数への最小二乗フィッティングは、解に近い領域での根の探索挙動を安定的かつ正確に近似する。
• 本手法は、複雑な曲率や複数の根を有する関数を含む、さまざまなテスト関数に対して頑健に動作する。