[論文レビュー] A three state invariant

M. Fannes D. Vanpeteghem|ArXiv.org|Feb 5, 2004

Random Matrices and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二番目の重み付き重みの組み合わせから純粋な量子状態の系列を一意に再構成するための量子三状態不変量「位相」を導入する。これにより、重みのみによる再構成に伴う曖昧性を克服する。重みのみでは古典的確率測度、純粋状態、混合状態を区別できないことが示され、位相を追加することで純粋状態系列の完全な再構成が可能になる。

ABSTRACT

For triples of probability measures, pure quantum states and mixed quantum states we obtain the exact constraints on the fidelities of pairs in the sequence. We show that it is impossible to decide between a quantum model, either pure or mixed, and a classical model on the basis of the fidelities alone. Next, we introduce a quantum three state invariant called phase and show that any sequence of pure quantum states is uniquely reconstructible given the fidelities and phases.

研究の動機と目的

• 古典的確率測度、純粋な量子状態、混合量子状態の三つの状態のペアワイズ重みの制約を特定すること。
• 重み値のみでは、古典的モデルと量子モデル（純粋または混合）を区別できないことを示すこと。
• 純粋状態のための新しい量子不変量「位相」を導入し、状態系列の一意的再構成を可能にすること。
• GNS構成におけるユニタリ自由度を用いて、純粋状態から混合状態への位相の概念の拡張を行うこと。
• 最小限の位相不変量（Φ₁ₖⱼ for 1 < k < j）が、純粋状態系列の一意的再構成に十分であることを確立すること。

提案手法

• 状態間の類似度として重みを用い、重みは重なりを介して定義される：古典的測度では F(μ,λ) = (∑√(λⱼμⱼ))²、純粋な量子状態では |⟨φ|ψ⟩|²。
• 混合量子状態に対しては、ウルマンの重み定義を適用する：F(ρ,σ) = (Tr√(ρ¹ᐟ²σρ¹ᐟ²))²。
• 三つの状態の組み合わせを分析し、ペアワイズ重みに必要な十分な制約を導出し、古典的、純粋、混合のすべての設定で同一であることを示す。
• 三重積 ⟨φ₁|φ₂⟩⟨φ₂|φⱼ⟩⟨φⱼ|φ₁⟩ の複素位相を用いて、位相不変量 Φ₁₂ⱼ を定義し、重みの幾何平均で正規化する。
• 純粋化された状態のシュミット分解を用い、純粋化のユニタリ最適化を介して、混合状態に対する一般化された位相を定義する。
• fidelities と位相 Φ₁ₖⱼ (1 < k < j) を指定することで、再帰的な振幅決定により状態系列を一意に再構成できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的確率測度、純粋な量子状態、混合量子状態の三つの状態のペアワイズ重みに必要な十分な制約は何か？
• RQ2 三つの状態に対して、重み値のみで古典的モデルと量子モデル（純粋または混合）を区別できるか？
• RQ3 ペアワイズ重みと追加の不変量から、純粋な量子状態の系列を一意に再構成することは可能か？
• RQ4 純粋状態から混合量子状態への位相の概念を、純粋化とユニタリ自由度を用いてどのように一般化できるか？
• RQ5 純粋量子状態系列を重みから再構成するために必要な最小限の位相不変量は何か？

主な発見

• 三つの状態のペアワイズ重みの制約は、古典的確率測度、純粋な量子状態、混合量子状態のすべてで同一であり、重みのみではモデルの種別を区別できないことが示された。
• 任意の純粋な量子状態系列に対して、ペアワイズ重みと位相 Φ₁ₖⱼ (1 < k < j) を用いることで、状態系列を一意に再構成可能である。この位相は、内積の三重積の位相によって定義される。
• 必要な位相不変量の数は、長さ n の系列に対して (n-1)(n-2)/2 個であり、n(n-1)/2 個の重みと比較して不足する自由度の差に一致する。
• 位相不変量 Φ₁₂ⱼ は、正規化された三重積の位相として定義される：e⁻ⁱΦ₁₂ⱼ⟨φ₁|φ₂⟩⟨φ₂|φⱼ⟩⟨φⱼ|φ₁⟩ = F₁₂¹ᐟ² F₁ⱼ¹ᐟ² F₂ⱼ¹ᐟ²。
• 再構成プロセスは、重みと位相を用いて再帰的に複素振幅 cⱼₖ を決定し、最終的な振幅 cⱼⱼ は正規化によって決定される。
• 混合状態への位相不変量の一般化は、GNS構成とシュミット分解を用い、純粋化された状態三重のユニタリ変換の下での下限を取ることで提案される。