[論文レビュー] A Tight Approximation for Co-flow Scheduling for Minimizing Total Weighted Completion Time

Sungjin Im, Manish Purohit|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、合流スケジューリングにおける総加重完了時間の最小化のための (2 + ϵ)-近似アルゴリズムを提示している。整数丸めの段階に欠陥があるものの、近似的にタイトな性能を達成している。配置線形計画（LP）を用いて連続時間スケジュールを導出し、完了時間をデッドラインとして解釈し、問題をデッドライン制約付きスケジューリングに還元している。非一様な容量とリリース時間の拡張も、近似保証を維持する。

ABSTRACT

Co-flows model a modern scheduling setting that is commonly found in a variety of applications in distributed and cloud computing. In co-flow scheduling, there are $m$ input ports and $m$ output ports. Each co-flow $j \in J$ can be represented by a bipartite graph between the input and output ports, where each edge $(i,o)$ with demand $d_{i,o}^j$ means that $d_{i,o}^j$ units of packets must be delivered from port $i$ to port $o$. To complete co-flow $j$, we must satisfy all of its demands. Due to capacity constraints, a port can only transmit (or receive) one unit of data in unit time. A feasible schedule at each time $t$ must therefore be a bipartite matching. We consider co-flow scheduling and seek to optimize the popular objective of total weighted completion time. Our main result is a $(2+ε)$-approximation for this problem, which is essentially tight, as the problem is hard to approximate within a factor of $(2 - ε)$. This improves upon the previous best known 4-approximation. Further, our result holds even when jobs have release times without any loss in the approximation guarantee. The key idea of our approach is to construct a continuous-time schedule using a configuration linear program and interpret each job's completion time therein as the job's deadline. The continuous-time schedule serves as a witness schedule meeting the discovered deadlines, which allows us to reduce the problem to a deadline-constrained scheduling problem. * This result is flawed; see the first page for the details.

研究の動機と目的

• 合流スケジューリングにおける総加重完了時間の最適近似比と不近似性の閾値の間のギャップを埋めること。
• ジョブが任意のリリース時刻を持つ場合でも、ほぼ最適な近似比を達成するフレームワークを開発すること。
• 同じ近似保証を維持したまま、非一様なポート容量に対応するようにアプローチを拡張すること。
• 連続時間LP緩和を介して、合流スケジューリングをデッドライン制約付きスケジューリングに簡潔に還元すること。
• 整数丸め段階の欠陥があるものの、4-近似より優れたアルゴリズムの発展を促す基盤を提供すること。

提案手法

• 可能なスケジュールを整数マッチングの凸結合としてモデル化するため、配置線形計画（LP）を用いて合流スケジューリング問題を定式化する。
• LP解から連続時間スケジュールを構築し、LPにおける各ジョブの完了時刻をデッドラインとして解釈する。
• 双対LPの妥当性を保証するため、最小費用フローに基づく分離オракルを用いて、配置LPを解く。
• 連続時間スケジュールをストレッチ付きスケジュールに変換するための確率的丸め手順を適用し、ストレッチを制御するパrameter λ ∈ (0,1] を導入する。
• 逆ステップ値の上での区分線形コスト関数の最小化により、λの選択を決定的化し、多項式時間での計算を可能にする。
• 頂点分割とBirkhoff–von Neumann分解を用いて、分数マッチングを有界次数の部分グラフに分解することで、非一様容量に対応するフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合流スケジューリングにおける総加重完了時間の最小化に対して、(2 + ϵ)-近似が達成可能か。これは既知の不近似性の下限2 − ϵに近い。
• RQ2 ジョブが任意のリリース時刻を持つ場合、提案手法が近似保証を維持するか。
• RQ3 フレームワークを非一様ポート容量に対応させるために適合可能か。近似比が低下しないか。
• RQ4 連続時間LP緩和アプローチが、合流スケジューリングをデッドライン制約付きスケジューリング問題に還元するのに有効か。
• RQ5 欠陥のある整数丸め段階を、4-近似より優れた結果を得られる正しい効果的な代替手法に置き換え可能か。

主な発見

• 論文は、合流スケジューリングにおける総加重完了時間の最小化に対して (2 + ϵ)-近似を達成しており、2 − ϵ の不近似性下限に非常に近い。
• ジョブが任意のリリース時刻を持つ場合でも、すべてのジョブが時刻0に到着する特殊ケースと同等の近似保証が維持される。
• 頂点分割とBirkhoff–von Neumann分解を用いることで、非一様ポート容量に対しても同じ (2 + ϵ)-近似比が達成される。
• 配置LPから導出された連続時間スケジュールがデッドラインの証拠として機能し、デッドライン制約付きスケジューリング問題への還元を可能にする。
• 整数丸め段階に欠陥があるため、2-近似の主張は無効であるが、フレームワーク自体は、将来的な改善の基盤として価値がある。
• 逆ステップ値の上での区分線形コスト関数の最小化により、最適なλを効率的に特定でき、多項式時間での実行が保証される。