[論文レビュー] A tight Erdýos-Posa function for long cycles

Frank Mousset, Andreas Noever+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、長さが l 以上のサイクルに対して、タイトな Erdős–Pósa 関数を確立し、任意のグラフが k 個の頂点に依存しないサイクルを含むか、または O(kl + k log k) 個の頂点を削除することでそれらのサイクルをすべて消去できることを証明している。この結果は古典的な Erdős–Pósa 定理を一般化し、定数因子を除いて最適な境界を与える。長サイクルを含まないグラフの木幅に関する応用も得られている。

ABSTRACT

A classic result of Erdős and Posa says that any graph contains either k vertexdisjoint cycles or can be made acyclic by deleting at most O(k log k) vertices. Here we generalize this result by showing that for all numbers k and l and for every graph G, either G contains k vertex-disjoint cycles of length at least l, or there exists a set X of O(kl+k log k) vertices that meets all cycles of length at least l in G. As a corollary, the tree-width of any graph G that does not contain k vertex-disjoint cycles of length at least l is of order O(kl+k log k). These results improve on the work of Birmele, Bondy and Reed ’07 and Fiorini and Herinckx ’14 and are optimal up to constant factors.

研究の動機と目的

• 長さが l 以上のサイクルへの古典的 Erdős–Pósa 定理の一般化を図ること。
• 任意のグラフが k 個の頂点に依存しない長さ ≥ l のサイクルを含むか、またはサイズ f(k, l) のヒッティングセットを含むような最適関数 f(k, l) を特定すること。
• 長サイクルの文脈における Erdős–Pósa 関数のタイトな漸近的境界を確立すること。
• k 個の頂点に依存しない長サイクルを含まないグラフの木幅上界を導出すること。

提案手法

• 構造的グラフ理論とサイクルパッキング技法を用いて、古典的 Erdős–Pósa 論法を長サイクルに拡張する。
• 再帰的分解論法を適用して、k 個の頂点に依存しない長サイクルを特定またはパッキングする。
• 頂点スパarsification 法を用いて、長サイクルのヒッティングセットのサイズを制限する。
• サイクルマイナーの構造と木幅の性質を用いて、ヒッティングセットサイズとグラフのスパarsity の関係を関係づける。
• 既知の木幅とサイクルパッキングに関する結果を応用して、最終的な境界を導出する。
• 組合せ的議論と既知の極値的グラフ理論を組み合わせ、タイトな漸近的境界を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のグラフが k 個の頂点に依存しない長さが l 以上のサイクルを含むか、またはサイズ f(k, l) のヒッティングセットを含むような最適関数 f(k, l) は何か？
• RQ2 古典的 Erdős–Pósa 定理は、k と l に対するタイトな漸近的依存性を満たすように長サイクルに拡張可能か？
• RQ3 k 個の頂点に依存しない長さが l 以上のサイクルを含まないグラフの木幅は何か？
• RQ4 k と l に対する依存性に関して、長サイクルの境界は、任意のサイクルに対する境界と比べてどう異なるか？

主な発見

• この論文は、任意のグラフにおいて、長さが l 以上のすべてのサイクルをカバーするためには O(kl + k log k) 個の頂点で十分であることを確立している。
• この境界は定数因子を除いて最適であり、Birmele, Bondy, Reed, Fiorini, Herinckx らの先行研究を改善している。
• この結果は、k と l に対するタイトな漸近的依存性を満たすように、古典的 Erdős–Pósa 定理を長サイクルに一般化している。
• k 個の頂点に依存しない長さが l 以上のサイクルを含まない任意のグラフは、木幅 O(kl + k log k) を持つ。
• ヒッティングセット関数はタイトであり、より漸近的に小さい関数では同じ保証を得ることはできない。
• 解析により、l に対する依存性が線形で、k に対する依存性が線形対数的であることが確認され、最良のトレードオフに一致している。