[論文レビュー] A Tight Lower Bound for Streett Complementation

Yang Cai, Ting Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

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ひとこと要約

この論文は、Streettオートマトンの補元について、$2^{\tilde{\theta}}(n\lg n + nk\lg k)$ のタイトな下界を確立し、既存の最良の上界と一致する。著者らは、フェイリングセットとフルオートマトンの技術を組み合わせることで、$k = O(n)$ および $k = \omega(n)$ の両方の状況において、状態複雑性の観点から、彼らの前回の研究における構成が漸近的に最適であることを証明し、自動機理論における長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

Finite automata on infinite words ($ω$-automata) proved to be a powerful weapon for modeling and reasoning infinite behaviors of reactive systems. Complementation of $ω$-automata is crucial in many of these applications. But the problem is non-trivial; even after extensive study during the past four decades, we still have an important type of $ω$-automata, namely Streett automata, for which the gap between the current best lower bound $2^{Ω(n \lg nk)}$ and upper bound $2^{Ω(nk \lg nk)}$ is substantial, for the Streett index size $k$ can be exponential in the number of states $n$. In arXiv:1102.2960 we showed a construction for complementing Streett automata with the upper bound $2^{O(n \lg n+nk \lg k)}$ for $k = O(n)$ and $2^{O(n^{2} \lg n)}$ for $k=ω(n)$. In this paper we establish a matching lower bound $2^{Ω(n \lg n+nk \lg k)}$ for $k = O(n)$ and $2^{Ω(n^{2} \lg n)}$ for $k = ω(n)$, and therefore showing that the construction is asymptotically optimal with respect to the $2^{Θ(\cdot)}$ notation.

研究の動機と目的

• Streettオートマトンの補元に関する、既存の最良の上界と下界の間の長年のギャップを埋めること。
• 1980年代後半以来未解決のままであった、Streett補元の正確な状態複雑性を特定するという未解決問題を解決すること。
• 先行研究で提示された $2^{O(n\lg n + nk\lg k)}$ の構成が漸近的に最適であることを確立すること。
• 高度な下界技術（フェイリングセットおよびフルオートマトン）を無限語オートマトンに拡張し、タイトな下界を証明すること。

提案手法

• 著者らは、$\omega$-オートマトンに適応されたフェイリングセット技術を用い、元のオートマトンで受理されるランを誘発するが、重ね合わせたときに受理されないランを誘発する語のペアを構築する。
• フルオートマトン技術を適用して、元のオートマトンのすべての可能なランをシミュレートし、補元における状態要件を正確に特徴づける。
• 下界を示すために、街頭オートマトンの族 $\mathcal{A}_n$ とそれに対応する語の族 $\mathcal{W}_n$ を定義する。
• 証明は、$k = O(n)$ および $k = \omega(n)$ の2つの場合に分かれ、それぞれ $2^{\Omega(n\lg n + nk\lg k)}$ および $2^{\Omega(n^2\lg n)}$ の一致する下界を導出する。
• 受理条項に関する組合せ的議論と、Streettオートマトンの構造的性質を組み合わせることで、より小さい補元が存在しえないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 個の状態と $k$ 個の受理ペアを持つStreettオートマトンの補元の正確な状態複雑性は何か？
• RQ2 現在の最良の上界と下界の間のギャップが、Streett補元に関して埋められるか？
• RQ3 先行研究で提示された $2^{O(n\lg n + nk\lg k)}$ の構成は、漸近的に最適か？
• RQ4 フェイリングセットおよびフルオートマトン技術は、$\omega$-オートマトンに効果的に拡張可能か、タイトな下界を証明できるか？

主な発見

• 論文は、$k = O(n)$ の場合に、$2^{\Omega(n\lg n + nk\lg k)}$ のタイトな下界を確立し、既存の最良の上界と一致する。
• $k = \omega(n)$ の場合、下界は $2^{\Omega(n^2\lg n)}$ であり、先行研究からの上界と一致する。
• 著者らの前回の研究で提示された構成 [4] は、$2^{\Theta(\cdot)}$ の意味で漸近的に最適であることが証明された。
• 証明により、補元における状態の爆発は、任意の $k$ に対して $2^{\Theta(n\lg n + nk\lg k)}$ を超えて改善できないことが確認された。
• フェイリングセットおよびフルオートマトン技術を$\omega$-オートマトンに適用した結果、タイトな下界が得られ、それらの技術の有効性が無限語オートマトンへと拡張された。