[論文レビュー] A tighter bound on the number of relevant variables in a bounded degree Boolean function

Jake Wellens|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Chiarelli, Hatami, および Saks の $W(f)$-に基づく解析を精緻化することで、次数 $d$ のブール関数における関連変数の数の上界を $6.614 \cdot 2^d$ から $4.416 \cdot 2^d$ に改善した。低次元関数における有限線形計画法を用いたよりきついブロック感度の上限を活用し、変数制限戦略を最適化することで、元の議論における余剰を低減し、乗法的定数を 33% 向上させた。

ABSTRACT

A classical theorem of Nisan and Szegedy says that a boolean function with degree $d$ as a real polynomial depends on at most $d2^{d-1}$ of its variables. In recent work by Chiarelli, Hatami and Saks, this upper bound was improved to $C \cdot 2^d$, where $C = 6.614$. Here we refine their argument to show that one may take $C = 4.416$.

研究の動機と目的

• 次数 $d$ のブール関数における関連変数の数の既知の上界と、最高の下界との差を埋める。
• 有界次数のブール関数におけるジュンタサイズの $O(2^d)$ 上界における乗法的定数を改善する。
• Chiarelli, Hatami, および Saks の $W(f)$-に基づく解析を、よりきつい、次数に特化したブロック感度の上限を用いて精緻化する。
• 変数集合の制限戦略を最適化することで、元の制限に基づく議論における余剰を低減する。
• 有限計算と構造的最適化を通じて、上界における定数を顕著に低減できることを示す。

提案手法

• 関数 $f$ の関連変数数の上界を与える $W(f) = \sum_{i \in R(f)} 2^{-\deg_i(f)}$ を定義し、$|R(f)| \leq 2^{\deg(f)} W(f)$ により関連変数数を上界付ける。
• 線形計画法を用いて、すべての $d \leq 14$ に対してブロック感度 $\text{bs}(f)$ のきつい上界を計算し、最悪ケースの $d^2$ の上界に代える。
• 制限後の関数が次数 $\leq d-1$ となるように、互いに素な全次数の単項式の集合 $H$ を構築する。
• 制限後の $W(f)$ に再帰的上限を適用し、改善された $\text{bs}(f)$ の上限を用いて $W(f)$ の損失を制限する。
• 高次元の単項式を制限するとブロック感度が顕著に低下することを活用し、$W(f)$ の期待される低下を最小化するように $H$ の選択を最適化する。
• 得られた再帰的上限を用いて $W^{*} \leq 4.4158$ を得て、最終的な上界 $4.416 \cdot 2^d$ の関連変数数を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $d$ のブール関数における関連変数数の上界における乗法的定数を $6.614 \cdot 2^d$ 未満に低下させることは可能か？
• RQ2 Chiarelli, Hatami, および Saks の元の $W(f)$-に基づく解析にはどの程度の余剰が残っており、よりきついブロック感度の上限によりこれを解消できるか？
• RQ3 任意の次数 $d$ のブール関数が高々 $C \cdot 2^d$ 個の関連変数しか持たないような定数 $C$ の最適値は何か？
• RQ4 低次元関数における有限線形計画法は、ブロック感度などの複雑さの測度のグローバルな上限をどの程度改善できるか？
• RQ5 なぜ次数 $d$ の関数のブロック感度が、最悪ケースの $d^2$ の上限よりも顕著に小さいことが多いのか、構造的な理由はあるか？

主な発見

• 本論文は、任意の次数 $d$ のブール関数における関連変数数の新しい上界 $4.416 \cdot 2^d$ を確立した。
• 元の $6.614 \cdot 2^d$ から $4.416 \cdot 2^d$ への改善は、乗法的定数が 33% 減少したことを示している。
• 有限線形計画法を用いて $1 \leq d \leq 14$ に対してブロック感度のきつい上限を計算し、$d=14$ の場合に $\text{bs}(f) \leq 114$ を得た。
• 制限後の $W(f)$ の再帰的解析により $W(30^2, 30) \leq 4.41571$ を得て、$W^* \leq 4.4158$ に至った。
• 元の議論における余剰を、最悪ケースの $\text{bs}(f) \leq d^2$ の上界を $d$-特化、計算で得た上界に置き換えることで低減した。
• 結果として、ブロック感度は、$d^2$ の上界が捉えていなかった以前のより強い構造的制約であることが示唆された。