[論文レビュー] A time-fractional mean field game

Fabio Camilli, Raul De Maio|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、時間分数マクロフィールドゲーム（MFG）モデルを提案する。エージェントのダイナミクスは、時間分数微分によって支配されるサブディファージョン過程に従い、古典的拡散を置き換える。弱解と固定点論法を用いて、時間分数ハミルトニアン・ジョルダン・ベルマン（HJB）方程式とフォッカー・プランク（FP）方程式の結合系の適切な定式化を確立し、適切な関数空間内での解の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

We consider a Mean Field Games model where the dynamics of the agents is subdiffusive. According to the optimal control interpretation of the problem, we get a system involving fractional time-derivatives for the Hamilton-Jacobi-Bellman and the Fokker-Planck equations. We discuss separately the well-posedness for each of the two equations and then we prove existence and uniqueness of the solution to the Mean Field Games system

研究の動機と目的

• 時間分数微分を組み込むことで、古典的マクロフィールドゲーム理論をサブディファージョンダイナミクスへと拡張すること。
• エージェントが長時間の待ち時間を示す大規模な確率的ゲームにおいて、記憶効果と異常拡散をモデル化すること。
• 時間分数HJB方程式とFokker-Planck方程式を組み合わせた系の適切な定式化を確立すること。
• 測度値設定において、弱解と固定点論法を用いて解の存在および一意性を証明すること。
• 分数階数 β → 1 の極限において、古典的MFG定常状態を回復すること。

提案手法

• HJB方程式には後向きリーマン＝リウヴィル時間分数微分を、Fokker-Planck方程式には前向き微分を用いて、時間分数MFG系を定式化する。
• 時間分数HJB方程式に対する弱解理論を適用し、適切なバインドのもとで正則性と存在を保証する。
• 測度論的枠組みにおいて弱解を用いて時間分数Fokker-Planck方程式を扱い、質量保存および可積分性を保証する。
• 2次のモーメントが有界で、β/2-ホルダー連続性を満たす確率測度の閉じた、凸でコンパクトな部分集合において固定点論法を用いる。
• HJB解の一様有界性とFP解の一意性を用いて、解写像の連続性を確立する。
• 動的プログラミングと伊藤の公式を用いて、制御問題と時間分数HJB方程式との間の関係を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長時間の待ち時間と記憶効果を特徴とするサブディファージョンダイナミクスに、マクロフィールドゲームをどのように一般化できるか。
• RQ2 HJB方程式とFokker-Planck方程式に時間分数微分を含む結合系の正しい定式化は何か。
• RQ3 時間分数MFG系が一意な解を有するための条件は何か。
• RQ4 時間分数MFG系の解は、β → 1 の極限において、どのように古典的MFG解と関係するか。
• RQ5 時間分数HJB方程式およびFokker-Planck方程式の解が持つ正則性および可積分性の性質は何か。

主な発見

• 時間分数MFG系に対して、空間 C([0,T]; C¹∞(ℝᵈ)) × C([0,T]; ℙ₁(ℝᵈ)) 内に一意な解 (v, m) が存在する。
• 解は、2次のモーメントが有界で、β/2-ホルダー連続性を満たす確率測度の完備かつ凸でコンパクトな集合における固定点論法により構成される。
• HJB方程式の弱解は、すべての t ∈ [0,T] に対して C²(ℝᵈ) 内で一様有界であり、摂動に対して安定性を保証する。
• 測度空間から自身への写像 Φ は連続であり、これはシューアダーの固定点定理を適用するために不可欠である。
• 時間分数MFG系の定常解は、β → 1 の極限において、古典的MFG解に還元され、標準的なHJB-FP系を回復する。
• 時間分数Fokker-Planck方程式は弱い意味で適切に定式化されており、解 m は C([0,T]; ℙ₁(ℝᵈ)) 内の弱解として存在する。