[論文レビュー] A Time-Scale Variational Approach to Inflation, Unemployment and Social Loss

Monika Dryl, Agnieszka B. Malinowska+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Labor market dynamics and wage inequality参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、インフレーション、失業率、社会的損失をモデル化するための時間スケール微積分枠組みを導入し、連続的および離散的アプローチを統合する。時間スケール（特に $ h\mathbb{Z} $）上で最適化することで、古典的モデルよりも顕著に優れた経験的適合性を達成し、社会的損失関数誤差を最小化する週次データサンプリング（$ h \approx 0.11 $–$ 0.22 $）が最適であることが示された。これにより、マクロ経済モデルにおける高頻度データ収集の必要性が裏付けられた。

ABSTRACT

Both inflation and unemployment inflict social losses. When a tradeoff exists between the two, what would be the best combination of inflation and unemployment? A well known approach in economics to address this question consists to write the social loss as a function of the rate of inflation $p$ and the rate of unemployment $u$, with different weights, and then, using known relations between $p$, $u$, and the expected rate of inflation $π$, to rewrite the social loss function as a function of $π$. The answer is achieved by applying the theory of the calculus of variations in order to find an optimal path $π$ that minimizes the total social loss over a given time interval. Economists dealing with this question use a continuous or a discrete variational problem. Here we propose to use a time-scale model, unifying available results in the literature. Moreover, the new formalism allow us to obtain new insights to the classical models when applied to real data of inflation and unemployment.

研究の動機と目的

• インフレーションおよび失業率の連続的および離散的モデルを、統一的な時間スケールフレームワークに統合すること。
• 古典的モデルが現実の社会的損失データを近似する際の限界を解決すること。
• 理論的および経験的社会的損失関数の乖離を最小化する最適なデータサンプリング周波数を特定すること。
• 古典的モデルが適切な時間スケールでのサンプリングと組み合わせられれば、本質的に欠陥があるのではなく、正確な結果をもたらす可能性があることを示すこと。
• 社会的損失最小化の下で期待されるインフレーション経路の動的最適化を可能にする、時間スケール上での新しい変分フレームワークを提供すること。

提案手法

• 時間スケール $ \mathbb{T} = h\mathbb{Z} $ 上に動的社會的損失関数を定式化し、連続的および離散的モデルを一般化する。
• 時間スケール上の変分法を適用し、総社会的損失を最小化するための必要および十分な最適性条件を導出する。
• デルタ微分および変分原理を用いて、$ h\mathbb{Z} $ 上での最適期待インフレーション経路 $ \pi^* $ の明示的解を導出する。
• 時間スケールパラメータ $ h $ を、時間スケールモデルの関数 $ \Lambda_h $ と経験的データ $ \Lambda_E $ の相対誤差を最小化することでキャリブレーションする。
• インフレーションおよび失業率の米国実データ（2000–2010年）を用いて、連続的、離散的、時間スケールモデルの関数を計算・比較する。
• 数値最適化を用いて、時間スケールモデルの誤差を最小化する最良の $ h $（例：$ h = 0.11 $、$ 0.22 $）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統一的な時間スケールモデルは、古典的連続的および離散的モデルと比較して、社会的損失関数の正確性を向上させることができるか？
• RQ2 理論的および経験的社会的損失の乖離を最小化する最適なデータサンプリング周波数（すなわち、粗さ $ h $）は何か？
• RQ3 なぜ古典的連続的および離散的モデルは現実のデータをうまく近似できないのか？これは、サンプリング間隔を調整することで是正可能か？
• RQ4 時間スケールアプローチにより、社会的損失最小化の下での最適インフレーション経路の予測が向上するか？
• RQ5 古典的モデルが高頻度データと組み合わせられれば、同等の正確性に到達可能か？その場合、必要なサンプリングレートは何か？

主な発見

• 時間スケールモデルにおいて $ h = 0.11 $ または $ h = 0.22 $（週次サンプリングに相当）の場合、理論的および経験的社会的損失関数の相対誤差が最小化される。
• 2009年には $ \Lambda_h $ と $ \Lambda_E $ の相対誤差が 0.33% にまで低下し、2004年には 0.58% であった。11年間の平均誤差は時間スケールモデルで 7.16% であった。
• これに対して、連続モデルの11年間平均相対誤差は 97.32% に達し、離散モデルは 4×10^90 を超える結果となり、経験的適合性が著しく低いことが示された。
• 古典的モデルの失敗は理論的欠陥によるものではなく、不適切なサンプリング周波数に起因する。最適な $ h $ と組み合わせることで、その正確性は顕著に向上する。
• 最適な $ h $ 値（0.11–0.22）は週次データ収集に対応しており、高頻度データ収集が正確なマクロ経済モデル構築に不可欠であることを示唆している。
• 時間スケールモデルは、既存の連続的および離散的アプローチを統合・改善する数学的に厳密かつ経験的に検証されたフレームワークを提供する。