[論文レビュー] A token-based central queue with order-independent service rates

Urtzi Ayesta, Tejas Bodas+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、複数の顧客タイプと順序に依存しないサービスレートを備えたトークンベースの中央キュー・モデルを導入し、顧客は互換性のあるトークンを確保することでサービスを受ける。主な貢献は、特定の割り当てルールおよびサービスレート条件のもとで、定常分布が積型を示すことを証明したことであり、これにより、順序に依存しないキューおよび閉形式の性能指標を有する再冗長性システムといった先行モデルが一般化される。

ABSTRACT

We study a token-based central queue with multiple customer types. Customers of each type arrive according to a Poisson process and have an associated set of compatible tokens. Customers may only receive service when they have claimed a compatible token. If upon arrival, more than one compatible token is available, an assignment rule determines which token will be claimed. The service rate obtained by a customer is state-dependent, i.e., it depends on the set of claimed tokens and on the number of customers in the system. Our first main result shows that, provided the assignment rule and the service rates satisfy certain conditions, the steady-state distribution has a product form. We show that our model subsumes known families of models that have product-form steady-state distributions including the order-independent queue of Krzesinski (2011) and the model of Visschers et al. (2012). Our second main contribution involves the derivation of expressions for relevant performance measures such as the sojourn time and the number of customers present in the system. We apply our framework to relevant models, including an M/M/K queue with heterogeneous service rates, the MSCCC queue, multi-server models with redundancy and matching models. For some of these models, we present expressions for performance measures that have not been derived before.

研究の動機と目的

• 既存の積型キューイングモデル（順序に依存しないキューおよび再冗長性システムを含む）を統一的な枠組みに一般化すること。
• 複数の顧客タイプと状態依存サービスレートを有するシステムを、リソース割り当てにトークンベースのメカニズムを用いてモデル化すること。
• 新しい枠組みのもとで、滞在時間やシステム負荷といった性能指標の明示的表現を導出すること。
• 提案モデルが、BCMPネットワークやKellyネットワークといった既知の積型ファミリーを包含することを示すこと。

提案手法

• 各タイプの顧客は、独立したポアソン過程に従って到着し、サービスを受けるために互換性のあるトークンを必要とする。
• 到着時に利用可能な互換性のあるトークンが存在する場合、顧客はそのトークンを確保する。そうでない場合はキューに待つ。
• サービスレートは状態に依存し、確保されたトークン数およびアクティブな顧客数に依存する。
• 複数のトークンが利用可能な場合の割り当てルールは、積型分布を保証する条件を満たす。
• 定常分布はバランス方程式を用いて導出され、トークンタイプおよびシステム状態に基づく項の積に分解される。
• 生成関数およびラプラス変換を用いて、積型構造のもとで滞在時間やシステムサイズといった性能指標が計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の顧客タイプと状態依存サービスレートを有するトークンベースの中央キューが、どのような条件下で積型定常分布を有するか。
• RQ2 本モデルは、順序に依存しないキューおよび再冗長性システムといった既存の積型ファミリーを統合・一般化できるか。
• RQ3 割り当てルールおよびサービスレート関数は、定常分布の構造的性質にどのように影響を与えるか。
• RQ4 積型条件のもとで、滞在時間やシステム負荷といった性能指標をどのように解析的に導出できるか。

主な発見

• 割り当てルールおよびサービスレート関数にやや緩い条件が課されれば、システムの定常分布は積型を示し、効率的な性能解析が可能になる。
• 本モデルは、順序に依存しないキューおよびd-選択を用いた再冗長性システムを一般化し、既知の積型ファミリーを包含する。
• 待機中の顧客数の生成関数および滞在時間のラプラス変換の明示的表現が導出された。
• 本フレームワークにより、MSCCCキューおよび異種レートを持つマルチサーバーシステムなど、特定の再冗長性およびマッチングモデルにおける性能指標の初回の導出が可能になった。
• サービスレートがアクティブな顧客数および確保済みトークン数に依存する場合でも、積型構造が保たれ、古典的積型理論が拡張される。
• 結果から、マッチングモデルと再冗長性システムは深い構造的類似性を有しており、特定のパrameter設定のもとでサンプルパス同等性が成立することが確認された。