[論文レビュー] A Toolkit For Steady States of Nonlinear Wave Equations: Continuous Time Nesterov and Exponential Time Differencing Schemes

C. B. Ward, N. Whitaker+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Nonlinear Photonic Systems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続時間Nesterov加速と指数時刻差分法（ETD）およびスペクトル正規化を組み合わせることで、非線形波動方程式、特に非線形シュレーディンガー方程式の定常状態を計算するための新規なツールキットを提案する。提案されたスキームであるACTN（加速連続時間Nesterov）およびETDV（可変ステップサイズを用いた指数時刻差分法）は、標準的手法に比べて著しく高速な収束を示し、1次元および2次元の例において反復回数を最大50％まで削減した。非対称状態や励起状態への収束も可能である。

ABSTRACT

Several methods exist for finding ground (as well as excited) states of nonlinear waves equations. In this paper we first introduce two modifications of the so-called accelerated imaginary-time evolution method (AITEM). In our first modification, time integration of the underlying gradient flow is done using exponential time differencing instead of using more standard methods. In the second modification, we present a generalization of the gradient flow model, motivated by the work of Nesterov, as well as that of Candes and collaborators. Additionally, we consider combinations of these methods with the so-called spectral renormalization scheme. Finally, we apply these techniques to the so-called Squared Operator Method, enabling convergence to excited states. Various examples are shown to illustrate the effectiveness of these new schemes, comparing them to standard ones established in the literature. In most cases, we find significant reductions in the number of iterations needed to reach convergence.

研究の動機と目的

• 非線形波動方程式、特に非線形シュレーディンガー方程式の基底状態および励起状態をより高速かつ安定に計算する反復的手法の開発。
• 高度な時刻積分スキームを統合することで、既存の虚数時間発展法の収束速度と安定性を向上させること。
• 二乗作用素法（SOM）を用いて、標準的手法では到達できない非対称状態や励起状態への収束を可能とすること。
• AITEM、ITEM、およびスペクトル正規化といった既存手法と比較し、多様な物理的状況下での性能を評価すること。
• 非線形光学、原子物理学、流体力学分野の研究者にとって実用的で計算効率の高いツールキットを提供すること。

提案手法

• 非線形波動方程式のエネルギー汎関数の勾配フローを解くためのNesterovの加速勾配法の連続時間版であるACTNを提案する。
• 勾配フローを統合するために指数時刻差分法（ETD）を用いるETDVスキームを導入し、標準的な明示的手法に比べて安定性と収束性を向上させる。
• ACTNとETDVをスペクトル正規化と組み合わせることで、非自明な制約や対称性を有する問題に対する収束性を強化する。
• 二乗作用素法（SOM）を適用し、元の定常状態問題を非基底状態（励起状態や非対称状態を含む）に収束可能な系に変換する。
• ETDVにおいて可変ステップサイズ戦略を用いて、時間ステップを適応的に制御し、収束効率を向上させる。
• レイリー商に基づく修正されたラグランジュ乗数更新則を用い、進化過程で化学ポテンシャルを動的に調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間Nesterov加速は、非線形シュレーディンガー方程式の定常状態に収束するための反復回数を著しく削減できるか？
• RQ2 指数時刻差分法（ETD）は、非線形波動定常状態問題において、標準的時刻積分法に比べて収束速度と安定性に優れているか？
• RQ3 ACTNとETDVをスペクトル正規化と組み合わせることで、多井ポテンシャルにおける非対称状態や励起状態への収束性が向上するか？
• RQ4 AITEM や ITEM といった既存手法と比較して、新しいスキームは反復回数と耐障害性の観点で、異なる物理的領域において優れているか？
• RQ5 SOMを加速Nesterov法やETDスキームと組み合わせることで、非基底状態への効果的なターゲティングが可能か？

主な発見

• ACTNスキームにより、1次元単一井戦ポテンシャルにおける基底状態への収束に要する反復回数は、AITEMの106回から59回に44％削減された。
• 1次元二重井戦ポテンシャルでは、非対称基底状態への収束に成功したのはETDVスキームのみであり、他の手法は失敗したか、収束が遅かった。
• 放物型トラップを有する2次元非焦点化NLSでは、ACTNおよびETDVが107～114反復で収束したが、AITEM（177反復）およびAITEMRe（171反復）に比べて優れた性能を示した。
• 周期的ポテンシャルを有する2次元焦点化NLSでは、すべてのスキームがギャップソリトンに収束したが、ACTNおよびETDVはAITEMおよびAITEMReよりも反復回数が少なかった。
• ACTNと二乗作用素法（SOM）の組み合わせにより、1次元でマルチヘイプおよび非対称解を含む励起状態への収束が成功した。これは標準的手法では到達できなかった。
• ETDVスキームは複雑なポテンシャルにおいて優れた耐障害性を示し、二重井戦ケースで非対称基底状態への収束を唯一成功させた。