[論文レビュー] A topological characterization of symplectic manifolds

Robert E. Gompf|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2002

Geometry and complex manifolds被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、8未満の次元の閉じた多様体上のシンプレクティック構造の位相的特徴付けを、ハイパーペンシルと呼ばれるファイブレーションに類似した構造を用いて行う。ハイパーペンシルの変形型が、正のスケーリングを除くシンプレクティック形式の同値類に対応することを示し、シンプレクティック多様体上での線形系の構成に関するドナルドソンのプログラムの位相的逆写像を提供する。

ABSTRACT

A topological condition is given, characterizing which closed manifolds in dimensions < 8 (and conjecturally in general) admit symplectic structures. The condition is the existence of a certain fibration-like structure called a hyperpencil. A deformation class of hyperpencils on a manifold X of any even dimension is shown to determine an isotopy class of symplectic structures on X. This provides an inverse (at least in dimensions < 8) to Donaldson's program for constructing linear systems on symplectic manifolds. It follows that (at least in dimensions < 8) the set of deformation classes of hyperpencils canonically maps onto the set of isotopy classes of rational symplectic forms up to positive scale, topologically determining a dense subset of all symplectic forms up to an equivalence relation on hyperpencils. Other applications of the main techniques are presented, including the construction of symplectic structures on domains of locally holomorphic maps, and on high-dimensional Lefschetz pencils and other linear systems.

研究の動機と目的

• 8未満の次元における閉じた多様体がシンプレクティック構造をもつための位相的条件を同定すること。
• ハイパーペンシルの変形型とシンプレクティック形式の同値類の間の対応関係を確立すること。
• シンプレクティック多様体上での線形系の構成に関するドナルドソンのプログラムの位相的逆写像を提供すること。
• 局所的正則写像の定義域および高次元線形系へのシンプレクティック構造の構成を拡張すること。
• ハイパーペンシルが、同値関係を除いてすべてのシンプレクティック形式の稠密な部分集合を位相的に決定することを示すこと。

提案手法

• 論文は、偶数次元多様体上にハイパーペンシルと呼ばれるファイブレーションに類似した構造の概念を導入する。
• ハイパーペンシルの変形型を定義し、それが多様体上のシンプレクティック構造の同値類を決定することを示す。
• ハイパーペンシルの存在とシンプレクティック形式の存在との関係を、位相的技法を用いて関係づける。
• リーマンのペンシルと線形系の理論を用いて、局所的正則写像の定義域へのシンプレクティック構造の拡張を行う。
• ハイパーペンシルの変形型から、正のスケーリングを除く有理型シンプレクティック形式の同値類への自然な写像を確立する。
• このアプローチにより、シンプレクティック多様体上での線形系のドナルドソンの構成の位相的逆写像が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 8未満の次元におけるどの閉じた多様体がシンプレクティック構造をもつのか。また、それらを特徴付ける位相的条件は何か。
• RQ2 多様体上のハイパーペンシルの変形型は、その多様体上のシンプレクティック形式の同値類とどのように関係するか。
• RQ3 ハイパーペンシルを用いて、局所的正則写像の定義域へのシンプレクティック構造の構成を拡張できるか。
• RQ4 ハイパーペンシルは、同値関係を除いて、シンプレクティック形式の空間をどの程度位相的に決定するか。
• RQ5 8未満の次元において、ハイパーペンシルの変形型とシンプレクティック同値型の間の対応は、自然かつ全射的か。

主な発見

• 8未満の次元における閉じた多様体上でのシンプレクティック構造は、ハイパーペンシルの存在という位相的条件によって特徴付けられる。
• 多様体 X 上のハイパーペンシルの変形型は、X 上のシンプレクティック構造の同値類を決定する。
• ハイパーペンシルの変形型の集合は、正のスケーリングを除く有理型シンプレクティック形式の同値類の集合へ自然に写像される。
• この対応関係により、シンプレクティック多様体上での線形系の構成に関するドナルドソンのプログラムの位相的逆写像が得られる。
• この方法により、局所的正則写像の定義域上でのシンプレクティック構造の構成が可能になる。
• ハイパーペンシルは、ハイパーペンシルの同値関係を除いて、すべてのシンプレクティック形式の稠密な部分集合を位相的に決定する。