[論文レビュー] A topological obstruction to the controllability of nonlinear wave equations with bilinear control term

Thomas Chambrion, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非線形波動方程式にL1双線形制御を適用する場合の可制御性に対する位相的障壁を確立する。Ball-Marsden-Slemrodフレームワークを非線形力学へ拡張することで、Dyson級数展開とSobolev空間におけるコンパクト性の議論を用いて、到達可能集合がH1(M) × L2(M)内に可算個のコンパクト集合の和集合に含まれることを証明する。これは、エネルギー空間において内部が空集合であることを示し、自然な関数的設定下での正確な可制御性が不可能であることを示唆する。

ABSTRACT

In this paper we prove that the Ball-Marsden-Slemrod controllability obstruction also holds for nonlinear equations, with integrable bilinear controls. We first show an abstract result and then we apply it to nonlinear wave equations. The first application to the Sine-Gordon equation directly follows from the abstract result, and the second application concerns the cubic wave/Klein-Gordon equation and needs some additional work.

研究の動機と目的

• 線形系におけるL1制御に対するBall-Marsden-Slemrod障壁を非線形波動方程式へ拡張すること。
• 非線形項が自然なエネルギー空間における可制御性の位相的障壁を打ち破らないことを示すこと。
• 非線形系における双線形制御の到達可能集合がBaireカテゴリーの意味で「痩せている」ことを確立すること。
• Sine-Gordon方程式や立方クライン=ゴルドン方程式などの方程式に一般化可能なフレームワークを提供すること。
• Sobolev埋没定理とエネルギー推定を用いて、非線形性のリプシッツ条件を緩和できることを示すこと。

提案手法

• Duhamel積分公式を用いて非線形波動方程式を弱解として定式化する。
• 解を制御関数のべき級数として表すためにDyson展開を適用する。
• 作用素の有界性と連続性を用いて、部分和の一様収束性と連続性を証明する。
• Sobolev空間H1 × L2における逐次収束を用いて、到達可能集合のコンパクト性を確立する。
• Sobolev埋没定理を用いて正則性を制御し、解作用素の連続性を保証する。
• 時間区間に関する帰納法を用いて、局所的コンパクト性を全時間領域への到達可能集合へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形系におけるL1制御に対するBall-Marsden-Slemrod障壁を非線形波動方程式へ拡張できるか？
• RQ2 立方項やSine-Gordon型の非線形項が、可制御性の位相的障壁を克服できるか？
• RQ3 L1制御を伴う非線形波動方程式の到達可能集合は、エネルギー空間においてBaireカテゴリーの意味で痩せているか？
• RQ4 コンパクト性の議論において、非線形性のリプシッツ条件を緩和できるか？
• RQ5 Sobolev埋没定理は、解の流れの正則性とコンパクト性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• L1制御を伴う非線形波動方程式の到達可能集合は、H1(M) × L2(M)内の可算個のコンパクト集合の和集合に含まれる。
• Sine-Gordon方程式では、フレームワークの仮定と一致するため、抽象的結果が直接適用可能である。
• 3次元立方クライン=ゴルドン方程式では、非線形性はリプシッツ的でないが、Duhamel公式による正則性の向上のおかげで解が大域的に存在する。
• Dyson展開の収束時間間隔は、初期データそのものではなく初期エネルギーにのみ依存する。
• 適切なエネルギー評価のもとで、任意のT > 0とL > 0に対して、到達可能集合VT,L(ψ0, ψ1)はH1(M) × L2(M)において相対的にコンパクトである。
• この結果は、Baireカテゴリー定理より、自然なエネルギー空間における正確な可制御性が不可能であることを示唆する。