[論文レビュー] A topological view of Gromov-Witten theory

Davesh Maulik, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Dec 27, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、相対的インバリアントが、$V$、$W$ の絶対的グロモフ＝ウィッテン理論およびコホモロジー上の制限写像によって完全に決定されることを証明することにより、グロモフ＝ウィッテン理論に位相的枠組みを確立する。崩壊、局所化、普遍関係を用いて、相対理論が絶対的データから再構成可能であることを示し、$\mathbb{P}^4$ 内のカルラビ＝ヤウの五次三つfoldのグロモフ＝ウィッテンインバリアントを完全に数学的に決定可能にする。主な貢献は、コホモロジーにおける Leray-Hirsch および Mayer-Vietoris 定理のグロモフ＝ウィッテン版である。

ABSTRACT

We study relative Gromov-Witten theory via universal relations provided by the interaction of degeneration and localization. We find relative Gromov-Witten theory is completely determined by absolute Gromov-Witten theory. The relationship between the relative and absolute theories is guided by a strong analogy to classical topology. As an outcome, we present a mathematical determination of the Gromov-Witten invariants (in all genera) of the Calabi-Yau quintic 3-fold in terms of known theories.

研究の動機と目的

• 相対的グロモフ＝ウィッテン理論に位相的枠組みを確立するため、古典的コホモロジー的長完全系列に類似した類推をなす。
• ペア $(V,W)$ の相対的グロモフ＝ウィッテンインバリアントが、$V$、$W$ の絶対的インバリアントおよびコホモロジー上の制限写像 $H^*(V,\mathbb{Q}) \to H^*(W,\mathbb{Q})$ によって一意に決定されることを証明する。
• ベース $X$ と $c_1(L)$ を用いて、$Y = \mathbb{P}(L \oplus \mathcal{O}_X)$ のグロモフ＝ウィッテン理論の再構成定理を構築する。
• $\mathbb{P}^4$ 内のカルラビ＝ヤウの五次三つfoldの全グロモフ＝ウィッテン理論を、すべての生成数において計算することに応用する。

提案手法

• 射影バンドル上の等置不変局所化を用いて相対的インバリアントを計算し、再帰的関係を導出する。
• 崩壊公式を適用して、$V$ の絶対的インバリアントと $(V,W)$ および $(\mathbb{P}(N \oplus \mathcal{O}_W), W)$ の相対的インバリアントを関連付ける。
• 崩壊公式の逆を用いて、相対的インバリアントを絶対的データから再構成し、Mayer-Vietoris系列のグロモフ＝ウィッテン版を確立する。
• 対称積のブLOWアップおよび $C^4$ 内の退化局所の計算を含む、モジュライ空間の幾何学的性質を用いた相対的インバリアントの明示的計算。
• $\mathbb{P}^1$-バンドル上の相対的局所化を用いて、等置不変相対的インバリアントを再帰関係内の定数として評価する。
• $\mathbb{P}^2$-バンドル上の絶対的インバリアントを直接局所化により計算し、特に生成数 3 および 4 のインバリアントを対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペア $(V,W)$ の相対的グロモフ＝ウィッテン理論は、$V$ および $W$ の絶対的理論とコホモロジー上の制限写像から再構成可能か？
• RQ2 相対的インバリアントは、絶対的理論に比べて、どの程度新たな情報を提供するか？
• RQ3 トポロジー的および再帰的手法を用いて、カルラビ＝ヤウの五次三つfoldのグロモフ＝ウィッテン理論を完全に決定可能か？
• RQ4 崩壊および局所化の技法は、絶対的および相対的グロモフ＝ウィッテンインバリアントの記述をどのように統一するか？
• RQ5 重み付き分割の観点から、相対的インバリアントと除数 $W$ のコホモロジーとの正確な関係は何か？

主な発見

• 相対的グロモフ＝ウィッテン理論 $(V,W)$ は、$V$ の絶対的グロモフ＝ウィッテン理論、$W$ の絶対的理論、および制限写像 $H^*(V,\mathbb{Q}) \to H^*(W,\mathbb{Q})$ によって完全に決定され、定理 2 を証明する。
• K3 表面 $S_4$ では、埋め込まれた曲線を持たないケーラー変形のため、すべての絶対的グロモフ＝ウィッテンインバリアントが消えるが、相対的インバリアントは非自明であり、局所化により計算される。
• $(S_4/C_4)$ の生成数 3 の相対的インバリアントは、$\langle 1|\mu_1\rangle^{S_4/C_4}_{3,H} = -1$、$\langle 1|\mu_2\rangle^{S_4/C_4}_{3,H} = 1$、$\langle 1|\mu_3\rangle^{S_4/C_4}_{3,H} = -1$ である。
• $(P/D_0)$ の生成数 3 の相対的インバリアントは、$\langle 1|\mu_1\rangle^{P/D_0}_{3,[D_0]} = 7$、$\langle 1|\mu_2\rangle^{P/D_0}_{3,[D_0]} = -3$、$\langle 1|\mu_3\rangle^{P/D_0}_{3,[D_0]} = 1$ であり、直接的局所化により計算された。
• 生成数 6 の絶対的インバリアント $\langle 1\rangle^{S_5}_{6,K} = -1$ は、$(S_4/C_4)$、$(B/C_4)$、$(P/D_0)$ の相対的インバリアントの寄与を組み合わせることで計算され、崩壊方程式の項の相殺により得られる。
• $B$ に対して絶対的インバリアント $\langle 1\rangle^{B}_{6,\beta} = 1$ は、$\mathbb{P}^2$ 内の4次および5次曲線の20個の交点からなる5次曲線の一意存在性により計算される。