[論文レビュー] A topology-motivated mixed finite element method for dynamic response of porous media

Zahrasadat Lotfian, Mettupalayam V. Sivaselvan|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Numerical methods in engineering参考文献 52被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、飽和多孔質媒体における動的ボリューム弾性体のモデリングを目的として、トポロジーに起因する混合有限要素法を提案する。流体のフラックスと圧力（w-p 系）にはラヴィアル・トーマス要素を、固体の変位（u 系）には標準ガラーキン有限要素を組み合わせる。三変数弱形式を用いることで、安定性と応力-孔内圧力の正確な結合性を確保し、Biot-Willis係数 α=1 の条件下で、変位および流体変数の両方において最適収束性を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a numerical method for computing solutions to Biot's fully dynamic model of incompressible saturated porous media [Biot;1956]. Our spatial discretization scheme is based on the three-field formulation (u-w-p) and the coupling of a lowest order Raviart-Thomas mixed element [Raviart,Thomas;1977] for fluid variable fields (w, p ) and a nodal Galerkin finite element for skeleton variable field (u). These mixed spaces are constructed based on the natural topology of the variables; hence, are physically compatible and able to exactly model the kind of continuity which is expected. The method automatically satisfies the well known LBB (inf-sup) stability condition and avoids locking that usually occurs in the numerical computations in the incompressible limit and very low hydraulic conductivity. In contrast to the majority of approaches, our three-field formulation can fully capture dynamic behavior of porous media even in high frequency loading phenomena with considerable fluid acceleration such as liquefaction and biomechanics of porous tissues under rapid external loading. Moreover, we address the importance of consistent initial conditions for poroelasticity equations with the incompressibility constraint, which represent a system of differential algebraic equations. The energy balance equation is derived for the full porous medium and used to assess the stability and accuracy of our time integration. To highlight the capabilities of our method, a variety of numerical studies are provided including verification with analytical and boundary element solutions, wave propagation analyses, hydraulic conductivity effects on damping and frequency content, energy balance analyses, mass lumping considerations, effects of mesh pattern and size, and stability analyses. We also explain some discrepancies commonly found in dynamic poroelasticity results in the literature.

研究の動機と目的

• 多孔質媒体における固体と流体の応答が結合された動的ボリューム弾性体の安定的で混合有限要素式の開発を目的とする。
• Biot の方程式に対する混合有限要素法で一般的に見られる数値不安定性を、要素選択におけるトポロジー的制約を活用することで解消することを目的とする。
• 三変数（u-w-p）弱形式を用いて、有効応力と流体フラックスの正確な表現を保証することを目的とする。
• 混合有限要素空間を用いて、変位および流体変数の両方において最適収束レートを達成することを目的とする。
• 特に地盤力学および土壌動力学に応用可能な、飽和多孔質媒体の動的荷重下におけるシミュレーションに耐性のある数値フレームワークの提供を目的とする。

提案手法

• 本手法は、変位（u）、流体フラックス（w）、孔内圧力（p）の三変数弱形式を、Biot の動的ボリューム弾性体方程式に基づいて構築する。
• 流体フラックスと孔内圧力（w-p 系）には、ラヴィアル・トーマス（RT）要素を用い、局所的質量保存と正確なフラックス近似を保証する。これは特にダルシー則のモデリングにおいて重要である。
• 変位場 u には、連続性と固体骨格に対する最適収束性を保証する標準ノードル・ガラーキン有限要素を用いる。
• 有効応力概念 σᵗ = σ - αpI を適用し、土壌では α = 1 として、全応力と骨格応力、孔内圧力の間の結合を確立する。
• 境界条件は、固体（u, σᵗ·n）および流体（w·n, p）の両方について、必須（ディリクレ）および自然（ノイマン）のタイプに分離して定義し、弱形式の適切な定式化を保証する。
• 得られる系は空間離散化後に微分代数方程式（DAE）となり、時間積分スキームにより解かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固体と流体の応答が結合された動的ボリューム弾性体に対して、どのように安定な混合有限要素法を構築できるか？
• RQ2 変位、流体フラックス、孔内圧力の近似に最適な有限要素空間は何か？ また、物理的一致性を保つにはどうすればよいか？
• RQ3 w と p の近似にラヴィアル・トーマス要素を用いることで、標準ガラーキン要素と比較して、精度と安定性がどのように向上するか？
• RQ4 標準的なベンチマーク条件下での混合形式の収束挙動はいかなるものか？
• RQ5 有限要素空間のトポロジーが、解の安定性および精度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 混合有限要素形式は、混合法の数学的理論に従い、変位および流体変数の両方において最適収束レートを達成している。
• w-p 系にラヴィアル・トーマス要素を用いることで、局所的質量保存と正確なフラックス近似が保証され、多孔質媒体内での流体の流れのモデリングにおいて極めて重要である。
• u, w, p を独立変数として用いた三変数形式は、局所的ロックや振動を回避する安定的かつ一貫性のあるフレームワークを提供し、動的ボリューム弾性体に適している。
• 有効応力モデル σᵗ = σ - αpI は、α = 1 の条件下で正常に実装されており、機械的応答と水理的応答の正確な結合を保証している。
• ディリクレおよびノイマンの部分集合が領域境界上で互いに排他的であるため、境界条件は適切に強制されており、弱形式の適切な定式化が保証されている。
• 本手法は動的問題に対して頑健であり、Biot の方程式の標準ガラーキン形式で一般的に見られる数値不安定性を回避している。